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人教版八年级数学下全册教案(第16-20章)文末查看下载 2020-06-02 22:40:09

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17章、勾股定理

17.1 勾股定理(1)

学习目标:

1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发爱国热情,勤奋学习。

重点:勾股定理的内容及证明。

难点:勾股定理的证明。

学习过程:

一.预习新知(阅读教材第64至66页,并完成预习内容。)

1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系?

2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系?

归纳:等腰直角三角形三边之间的特殊关系

(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢?

(2)组织学生小组学习,在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形,并以其三边为边长向外作三个正方形,并分别计算其面积。

(3)通过三个正方形的面积关系,你能说明直角三角形是否具有上述结论吗?

(4)对于更一般的情形将如何验证呢?

二.课堂展示

方法一;

如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图图形,利用面积证明。

S正方形=_______=_____________

方法二;

已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证:a2+b2=c2。

2.完成书上P69习题1、2

四.课堂检测

1.在Rt△ABC中,∠C=90°

①若a=5,b=12,则c=___________;

②若a=15,c=25,则b=___________;

③若c=61,b=60,则a=__________;

④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________。

2.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则

⑴c=               。(已知a、b,求c)

⑵a=               。(已知b、c,求a)

⑶b=               。(已知a、c,求b)

3.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________。

4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是(  )

     A、25              B、14            C、7              D、7或25

5.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为(  )

     A、56                    B、48            C、40            D、32

五.小结与反思

17.1勾股定理(2)

学习目标:

1.会用勾股定理解决简单的实际问题。

2.树立数形结合的思想。

3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法。

4.培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值。

重点:勾股定理的应用。

难点:实际问题向数学问题的转化。

一.预习新知(阅读教材第66至67页,并完成预习内容。)

 

1.①在解决问题时,每个直角三角形需知道几个条件?

 

②直角三角形中哪条边最长?

2.在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求AC长.

问题(1)在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系?

 (2)一个门框的尺寸如图1所示.

①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过?

②若薄木板长3米,宽1.5米呢?

③若薄木板长3米,宽2.2米呢?为什么?

二.课堂展示

例:如图2,一个3米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.

①求梯子的底端B距墙角O多少米?

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.

算一算,底端滑动的距离近似值(结果保留两位小数).

三.随堂练习

1.书上P68练习1、2 

2.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是        米。 

3.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是米,则这两株树之间的垂直距离是      米,水平距离是         米。

四.课堂检测

1.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是     

2.如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路一公里造价为300万元,隧道总长为2公里,隧道造价为500万元,AC=80公里,BC=60公里,则改建后可省工程费用是多少?

3.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米,∠B=60°,则江面的宽度为             。

4.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为            米。

5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点,PQ=16厘米,且RP⊥PQ,则RQ=        厘米。

6.如图3,分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,容易得出S1、S2、S3之间有的关系式                .

变式:书上P71 -11题如图4.

17.1 勾股定理(3)

学习目标:

1、能利用勾股定理,根据已知直角三角形的两边长求第三条边长;并在数轴上表示无理数。

2、体会数与形的密切联系,增强应用意识,提高运用勾股定理解决问题的能力。

3、培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见。

重点:利用勾股定理在数轴上表示无理数。

难点:确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。

一.预习新知(阅读教材第67至68页,并完成预习内容。)

1.探究:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示的点吗?

2.分析:如果能画出长为_______的线段,就能在数轴上画出表示的点。容易知道,长为的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。长为的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗?

利用勾股定理,可以发现,长为的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。

3.作法:在数轴上找到点A,使OA=_____,作直线垂直于OA,在上取点B,使AB=_____,以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴的交点C即为

例1已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。

例2已知:如图,等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。⑵求S△ABC。

三.随堂练习

1.完成书上P71第9题

2.填空题

⑴在Rt△ABC,∠C=90°,a=8,b=15,则c=      。

⑵在Rt△ABC,∠B=90°,a=3,b=4,则c=      。

⑶在Rt△ABC,∠C=90°,c=10,a:b=3:4,则a=       ,b=       。

(4)已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为             。

2.已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形面积。

四.课堂检测

17.2 勾股定理的逆定理(一)

学习目标

1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

重点:掌握勾股定理的逆定理及简单应用。

难点:勾股定理的逆定理的证明。

一.预习新知(阅读教材P73 — 75 ,  完成课前预习)

1.三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系?你是怎样得到的?

5.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗?

(1)两直线平行,内错角相等;

(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等;

(3)全等三角形的对应角相等;

(4)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

二.课堂展示

例1:判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形:

(1);       (2).

(3);      (4);

三.随堂练习

1.完成书上P75练习1、2

3.已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD。

求证:△ABC是直角三角形。

五.小结与反思

17.2勾股定理逆定理(2)

学习目标:

1.进一步掌握勾股定理的逆定理,并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形,能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围。

2.培养逻辑推理能力,体会“形”与“数”的结合。

3.在不同条件、不同环境中反复运用定理,达到熟练使用,灵活运用的程度。

4.培养数学思维以及合情推理意识,感悟勾股定理和逆定理的应用价值。

重点:勾股定理的逆定理

难点:勾股定理的逆定理的应用

一.预习新知

已知:如图,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。

求:四边形ABCD的面积。

归纳:求不规则图形的面积时,要把不规则图形          

二.课堂展示

2.一个三角形三边之比为3:4:5,则这个三角形三边上的高值比为                             

A 3:4:5           B 5:4:3        C 20:15:12           D 10:8:2

3.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式 +(b-18)2+=0则△ABC是     __三角形。

四.课堂检测

1.若△ABC的三边a、b、c,满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是(    )

 

勾股定理复习(1)

学习目标

1.理解勾股定理的内容,已知直角三角形的两边,会运用勾股定理求第三边.

2.勾股定理的应用.

3.会运用勾股定理的逆定理,判断直角三角形.

重点:掌握勾股定理及其逆定理.

难点:理解勾股定理及其逆定理的应用.

一.复习回顾

在本章中,我们探索了直角三角形的三边关系,并在此基础上得到了勾股定理,并学习了如何利用拼图验证勾股定理,介绍了勾股定理的用途;本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下:

这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2),先构造一个直角边为a,b的直角三角形,由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等,证明定理成立.

3.勾股定理的作用:

(1)已知直角三角形的两边,求第三边;

1.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距(     )

A.50cm      B.100cm       C.140cm       D.80cm

2.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为(    )

A.8cm     B.10cm   C.12cm    D.14cm

3.在△ABC中,∠C=90°,若 a=5,b=12,则c=___

4.等腰△ABC的面积为12cm2,底上的高AD=3cm,则它的周长为___. 

5.等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为___.

6.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是__

7.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.

8.如图3,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m处,已知旗杆原长16m,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗?

勾股定理复习(2)

学习目标

1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系,熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题.

2.经历反思本单元知识结构的过程,理解和领会勾股定理和逆定理.

3.熟悉勾股定理的历史,进一步了解我国古代数学的伟大成就,激发爱国主义思想,培养良好的学习态度.

重点:掌握勾股定理以及逆定理的应用.

难点:应用勾股定理以及逆定理.

考点一、已知两边求第三边

1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm,则斜边长为____.

2.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是______.

8.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是       .

9.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.

10.如图1所示,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O 的距离为2m,梯子的顶端B到地面的距离为7m.现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m,同时梯子的顶端B下降到B′,那么BB′也等于1m吗?

复习第一步::

勾股定理的有关计算

例1:(2006年甘肃省定西市中考题)下图阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为        .

析解:图中阴影是一个正方形,面积正好是直角三角形一条直角边的平方,因此由勾股定理得正方形边长平方为:172-152=64,故正方形面积为6

勾股定理解实际问题

例2.(2004年吉林省中考试题)图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图(单位:cm).其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤,阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面,将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆旗顶到地面的高度为220cm.在无风的天气里,彩旗自然下垂,如图②.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.

析解:彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF

的对角线DE的长度,连接DE,在Rt△DEF中,根据勾股定理,

得DE=

h=220-150=70(cm)

所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm

与展开图有关的计算

例3、(2005年青岛市中考试题)如图,在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上,求从顶点A到顶点C’的最短距离.

 析解:正方体是由平面图形折叠而成,反之,一个正方体也可以把它展开成平面图形,如图是正方体展开成平面图形的一部分,在矩形ACC’A’中,线段AC’是点A到点C’的最短距离.而在正方体中,线段AC’变成了折线,但长度没有改变,所以顶点A到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度.

  在矩形ACC’A’中,因为AC=2,CC’=1

  所以由勾股定理得AC’=  .

∴从顶点A到顶点C’的最短距离为

复习第二步:

1.易错点:本节同学们的易错点是:在用勾股定理求第三边时,分不清直角三角形的斜边和直角边;另外不论是否是直角三角形就用勾股定理;为了避免这些错误的出现,在解题中,同学们一定要找准直角边和斜边,同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.

例4:在Rt△ABC中, a,b,c分别是三条边,∠B=90°,已知a=6,b=10,求边长c.

错解:因为a=6,b=10,根据勾股定理得 c=

剖析:上面解法,由于审题不仔细,忽视了∠B=90°,这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角边,错把c当成了斜边.

正解:因为a=6,b=10,根据勾股定理得,c=

温馨提示:运用勾股定理时,一定分清斜边和直角边,不能机械套用c2=a2+b2

例5:已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是         

错解:因为Rt△ABC的两边长分别为3和4,根据勾股定理得: 第三边长的平方是32+42=25

剖析:此题并没有告诉我们已知的边长4一定是直角边,而4有可能是斜边,因此要分类讨论.

正解:当4为直角边时,根据勾股定理第三边长的平方是25;当4为斜边时,第三边长的平方为:42-32=7,因此第三边长的平方为:25或7.

温馨提示:在用勾股定理时,当斜边没有确定时,应进行分类讨论.

例6:已知a,b,c为⊿ABC三边,a=6,b=8,b<c,且c为整数,则c=    .

错解:由勾股定理得c=

剖析:此题并没有告诉你⊿ABC为直角三角形,因此不能乱用勾股定理.

正解:由b<c,结合三角形三边关系得8<c<6+8,即8<c<14,又因c为整数,故c边长为9、10、11、12、13.

温馨提示:只有在直角三角形中,才能用勾股定理,因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形.

2.思想方法:本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想;

例7:如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?

析解:因两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以由勾股定理求得AB=10 cm,设CD=x,由题意知则DE=x,AE=AC=6,BE=10-6=4,BD=8-x.在Rt△BDE由勾股定理得:42+x2=(8-x)2,解得x=3,故CD的长能求出且为3.

运用中的质疑点:(1)使用勾股定理的前提是直角三角形;(2)在求解问题的过程中,常列方程或方程组来求解;(3)已知直角三角形中两边长,求第三边长,要弄清哪条边是斜边,哪条边是直角边,不能确定时,要分类讨论.

复习第三步:

选择题

  1.已知△ABC中,∠A= ∠B= ∠C,则它的三条边之比为(  ).

    A.1:1:     B.1::2    C.1::     D.1:4:1

  2.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是(  ).    


  3.下列各组线段中,能够组成直角三角形的是(  ).

    A.6,7,8    B.5,6,7    C.4,5,6    D.3,4,5

  4.下列各命题的逆命题成立的是(  )

    A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等

    C.两直线平行,同位角相等 D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等

  5.若等边△ABC的边长为2cm,那么△ABC的面积为(  ).

    A. cm2    B.2 cm2    C.3 cm2    D.4cm2

  6.在Rt△ABC中,已知其两直角边长a=1,b=3,那么斜边c的长为(  ).

7.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上的高为(  )

A.6cm    B.8.5cm      C. cm          D. cm

8.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距(     )

A.50cm      B.100cm       C.140cm       D.80cm

9、有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了___米.

10.一座桥横跨一江,桥长12m,一般小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸以后,发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶___m.

11.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是___.

12.在Rt△ABC中,∠C=90°,中线BE=13,另一条中线AD2=331,则AB=___.

13.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.

14.如图3,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m处,已知旗杆原长16m,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗?请你试一试.

15.如图4所示,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O 的距离为2m,梯子的顶端B到地面的距离为7m.现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m,同时梯子的顶端B下降到B′,那么BB′也等于1m吗?

16.在△ABC中,三条边的长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1,且n为整数),这个三角形是直角三角形吗?若是,哪个角是直角?与同伴一起研究.

15、参考

在Rt△ABO中,梯子AB2=AO2+BO2=22+72=53.在Rt△A′B′O中,梯子A′B′2=53=A′O2+B′O2=32+B′O2,所以,B′O===2 >2×3=6.所以BB′=OB-OB′<1. 

16、参考.因为a2=n4-2n2+1,b2=4n,c2=n4+2n2+1,a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形,∠C为直角.

复习小结

通过教学,我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此要注意直角三角形的条件,要创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法,在做辅助线的过程中,提高学生的综合应用能力。

在不条件、不同环境中反复运用定理,要达到熟练使用,灵活运用的程度


18.1.1  平行四边形及其性质(一)

一、教学目的:

1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.

2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证.

3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.

二、重点、难点

4.重点:平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以及性质的应用.

5.难点:运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.

三、例题的意图分析

    例1是平行四边形性质的实际应用,题目比较简单,其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算,讲课时,可以让学生来解答.例2是补充的一道几何证明题,即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证,又让学生从较简单的几何论证开始,提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力,学会演绎几何论证的方法.此题应让学生自己进行推理论证.

四、课堂引入

1.我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链,想一想它们是什么几何图形的形象?

注意:平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.(教学时要结合图形,让学生认识清楚)

2.【探究】平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?我们一起来探究一下.

让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形,观察这个四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以,它的边和角之间有什么关系?度量一下,是不是和你猜想的一致?

(1)由定义知道,平行四边形的对边平行.根据平行线的性质可知,在平行四边形中,相邻的角互为补角.

∵  AB∥CD,AD∥BC,

∴  ∠1=∠3,∠2=∠4.

又  AC=CA,

∴  △ABC≌△CDA (ASA).

∴  AB=CD,CB=AD,∠B=∠D.

又 ∠1+∠4=∠2+∠3,

∴  ∠BAD=∠BCD.

由此得到:

平行四边形性质1  平行四边形的对边相等.

例1(见教材例1)

    例2(补充)如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,

求证:AF=CE.

分析:要证AF=CE,需证△ADF≌△CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有∠D=∠B,AD=BC,AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得BE=DF.由“边角边”可得出所需要的结论.

证明略.

六、随堂练习

1.填空:

(1)在ABCD中,∠A=,则∠B=    度,∠C=    度,∠D=    度.

(2)如果ABCD中,∠A—∠B=240,则∠A=   度,∠B=   度,∠C=   度,∠D=   度.

18.1.1平行四边形的性质(二)

一、   教学目的:

1.理解平行四边形中心对称的特征,掌握平行四边形对角线互相平分的性质.

2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题,和简单的证明题.

3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.

二、   重点、难点

1.重点:平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用.

2.难点:综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.

三、例题的意图分析

    本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,它是性质3的直接运用,然后对例1进行了引申,可以根据学生的实际情况选讲,并归纳结论:过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线,所得的对应线段相等.例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形,熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的.

例2是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算.这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步,需要应用勾股定理,先求得平行四边形一边上的高,然后才能应用公式计算.在以后的解题中,还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题,在教学中要注意使学生掌握其方法.

四、课堂引入

1.复习提问:

(1)什么样的四边形是平行四边形?四边形与平行四边形的关系是:

,观察它还和EFGH重合吗?你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你还能发现平行四边形的什么性质吗?

结论:(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;

         (2)平行四边形的对角线互相平分.

五、例习题分析

18.1.2(一) 平行四边形的判定

一、   教学目的:

1.在探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法.

2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.

3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.

二、重点、难点

1、:平行四边形的判定方法及应用.

2、:平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.

三、例题的意图分析

四、课堂引入

1.欣赏图片、提出问题.

展示图片,提出问题,在刚才演示的图片中,有哪些是平行四边形?你是怎样判断的?

2.【探究】:小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗?

让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件,思考并探讨:

(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗?

(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形?

(3)你能说出你的做法及其道理吗?

(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?你能用文字语言表述出来吗?

(5)你还能找出其他方法吗?

从探究中得到:

平行四边形判定方法1   两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定方法2   对角线互相平分的四边形是平行四边形。

五、例习题分析

∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点.

例3(补充)小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时,拼成一个六边形.你能在图中找出所有的平行四边形吗?并说说你的理由.

解:有6个平行四边形,分别是ABOF,ABCO, BCDO,CDEO,DEFO,EFAO.

18.1.2(二) 平行四边形的判定

一、   教学目的:

1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.

2.会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题.

3.通过平行四边形的性质与判定的应用,启迪学生的思维,提高分析问题的能力.

二、   重点、难点

1.重点:平行四边形各种判定方法及其应用,尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.

2.难点:平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用.

三、例题的意图分析

本节课的两个例题都是补充的题目,目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.学生程度好一些的学校,可以适当地自己再补充一些题目,使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明,通过学习,培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力.

四、课堂引入

行四边形.

分析:因为BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,所以BE∥DF.需再证明BE=DF,这需要证明△ABE与△CDF全等,由角角边即可.

证明:∵  四边形ABCD是平行四边形,

∴  AB=CD,且AB∥CD.

∴  ∠BAE=∠DCF.

∵  BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,

∴  BE∥DF,且∠BEA=∠DFC=90°.

∴  △ABE≌△CDF (AAS).

∴  BE=DF.

18.1.2(三) 平行四边形的判定——三角形的中位线

一、   教学目的:

1.     理解三角形中位线的概念,掌握它的性质.

2.     能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.

3.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力.

4.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法.

二、   重点、难点

1.重点:掌握和运用三角形中位线的性质.

2.难点:三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法).

三、例题的意图分析

 例1是是三角形中位线性质的证明题,教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法,它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定,二是为了降低难度,因此教师们在教学中要把握好度.

建议讲完例1,引出三角形中位线的概念和性质后,马上做一组练习,以巩固三角形中位线的性质,然后再讲例2.

例2是一道补充题,选自老教材的一个例题,它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题,题型挺好,添加辅助线的方法也很巧,结论以后也会经常用到,可根据学生情况适当的选讲例2.教学中,要把辅助线的添加方法讲清楚,可以借助与多媒体或教具.

四、课堂引入

1.     平行四边形的性质;平行四边形的判定;它们之间有什么联系?

2.     你能说说平行四边形性质与判定的用途吗?

(答:平行四边形知识的运用包括三个方面:一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题.例如求角的度数,线段的长度,证明角相等或线段相等等;二是判定一个四边形是平行四边形,从而判定直线平行等;三是先判定一个四边形是平行四边形,然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题.)

分析:所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.

定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

【思考】:

(1)想一想:①一个三角形的中位线共有几条?②三角形的中位线与中线有什么区别?

(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系?

(答:(1)一个三角形的中位线共有三条;三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线.(2)三角形的中位线与第三边的关系:三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.)

三角形中位线的性质:三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.

连结各边中点所成三角形的周长.

3.如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,

(1)若EF=5cm,则AB= cm;若BC=9cm,则DE=  cm;

(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?证明你的猜想.

18.2.1  矩形(一)

一、教学目的:

1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系.

2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.

3.渗透运动联系、从量变到质变的观点.

二、重点、难点

1.重点:矩形的性质.

2.难点:矩形的性质的灵活应用.

三、例题的意图分析

例1是教材的例1,它是矩形性质的直接运用,它除了用以巩固所学的矩形性质外,对计算题的格式也起了一个示范作用.例2与例3都是补充的题目,其中通过例2的讲解是想让学生了解:(1)因为矩形四个角都是直角,因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,而利用方程的思想,解决直角三角形中的计算,这是几何计算题中常用的方法;(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式.并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法.

四、课堂引入

1.展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门,活动衣架,篱笆、井架等),想一想:这里面应用了平行四边形的什么性质?

2.思考:拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,观察不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?为什么?(动画演示拉动过程如图)

3.再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形?(小学学过的长方形)引出本课题及矩形定义.

矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).

矩形是我们最常见的图形之一,例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象.

【探究】在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线),拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.

①随着∠α的变化,两条对角线的长度分别是怎样变化的?

②当∠α是直角时,平行四边形变成矩形,此时它的其他内角是什么样的角?它的两条对角线的长度有什么关系?

1.(填空)

(1)矩形的定义中有两个条件:一是,二是.

(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、   

(3)已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分别为cm,cm,  cm, cm.

2.(选择)

(1)下列说法错误的是().

(A)矩形的对角线互相平分  (B)矩形的对角线相等

(C)有一个角是直角的四边形是矩形  (D)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

(2)矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有().

(A)2对   (B)4对  (C)6对  (D)8对

本节课的三个例题都是补充题,例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件,老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目;例2是利用矩形知识进行计算;例3是一道矩形的判定题,三个题目从不同的角度出发,来综合应用矩形定义及判定等知识的.

四、课堂引入  

1.什么叫做平行四边形?什么叫做矩形?

2.矩形有哪些性质?

3.矩形与平行四边形有什么共同之处?有什么不同之处?

4.事例引入:小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作,你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗?看看谁的方法可行?

通过讨论得到矩形的判定方法.

矩形判定方法1:对角钱相等的平行四边形是矩形.

矩形判定方法2:有三个角是直角的四边形是矩形.

(指出:判定一个四边形是矩形,知道三个角是直角,条件就够了.因为由四边形内角和可知,这时第四个角一定是直角.)

五、例习题分析

例1(补充)下列各句判定矩形的说法是否正确?为什么?

   (1)有一个角是直角的四边形是矩形;  (×)

   (2)有四个角是直角的四边形是矩形;   (√)

   (3)四个角都相等的四边形是矩形;(√)

   (4)对角线相等的四边形是矩形;(×)

 (5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;(×)

(6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(√)

(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;(×)

(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;(√)

 (9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.  (√)

 指出:

(l)所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形;

(2)所给四边形添加的条件是三个独立条件,但若与判定方法不同,则需要利用定义和判定方法证明或举反例,才能下结论.

∴ ∠EAB+∠ABG=×180°=90°.

∴ ∠AFB=90°.

同理可证  ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°.

∴  四边形EFGH是平行四边形(有三个角是直角的四边形是矩形).

六、随堂练习

1.(选择)下列说法正确的是().

(A)有一组对角是直角的四边形一定是矩形(B)有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

(C)对角线互相平分的四边形是矩形  (D)对角互补的平行四边形是矩形

18.2.2   菱形(一)

一、教学目的:

1.掌握菱形概念,知道菱形与平行四边形的关系.

2.理解并掌握菱形的定义及性质1、2;会用这些性质进行有关的论证和计算,会计算菱形的面积.

3.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.

4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向学生渗透集合思想.

二、重点、难点

1.教学重点:菱形的性质1、2.

2.教学难点:菱形的性质及菱形知识的综合应用.

三、例题的意图分析

本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,是为了巩固菱形的性质;例2是教材P108中的例2,这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题.此题目,除用以巩固菱形性质外,还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积,以促进学生熟练、灵活地运用知识.

四、课堂引入

1.(复习)什么叫做平行四边形?什么叫矩形?平行四边形和矩形之间的关系是什么?

2.(引入)我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形,其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示:(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等,从而引出菱形概念.


点,且BE=DF.求证:∠AEF=∠AFE.

 

18.2.2   菱形(二)

一、教学目的:

1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算;

2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.

二、重点、难点

1.教学重点:菱形的两个判定方法.

2.教学难点:判定方法的证明方法及运用.

三、例题的意图分析

本节课安排了两个例题,其中例1是教材P109的例3,例2是一道补充的题目,这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用,主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法,并会用这些判定方法进行有关的论证和计算.这些题目的推理都比较简单,学生掌握起来不会有什么困难,可以让学生自己去完成.程度好一些的班级,可以选讲例3.

四、课堂引入

1.复习

(1)菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形;

(2)菱形的性质1  菱形的四条边都相等;

性质2  菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;

(3)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?(判定:2个条件)

2.【问题】要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其它的判定方法吗?

3.【探究】(教材P109的探究)用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?

通过演示,容易得到:

菱形判定方法1  对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直.

通过教材P109下面菱形的作图,可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法:

菱形判定方法2  四边都相等的四边形是菱形.

 

五、例习题分析

例1 (教材P109的例3)略

18.2.3正方形

一、教学目的

1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力. 

二、重点、难点

1.教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系. 

2.教学难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.

三、例题的意图分析

本节课安排了三个例题,例1是教材P111的例4,例2与例3都是补充的题目.其中例1与例2是正方形性质的应用,在讲解时,应注意引导学生能正确的运用其性质.例3是正方形判定的应用,它是先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边,从而可以判定这个四边形是正方形.随后可以再做一组判断题,进行练习巩固(参看随堂练习1),为了活跃学生的思维,也可以将判断题改为下列问题让学生思考:

①对角线相等的菱形是正方形吗?为什么?

②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么?

③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件?

④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么?

⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?

对角线AC、BD相交于点O(如图).

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.

证明:∵  四边形ABCD是正方形,

∴  AC=BD, AC⊥BD,

AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).

∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,

并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO.

又   DG⊥AE, ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.

∴  PN∥QM,∠PNM=90°.

∵  PQ∥NM,

∴  四边形PQMN是矩形.

∵  四边形ABCD是正方形

∴  ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).

∴  ∠1+∠2=90°.

又  ∠3+∠2=90°,  ∴  ∠1=∠3.

∴  △ABM≌△DAN.

∴  AM=DN.  同理  AN=DP.

∴  AM+AN=DN+DP

即  MN=PN.

∴  四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).

六、随堂练习

1.正方形的四条边____,四个角___,两条对角线  __


19.1.1  变量与函数(1)

知识技能目标

1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念;

2.了解表示函数关系的三种方法:解析法、列表法、图象法,并会用解析法表示数量关系.

过程性目标

1.通过实际问题,引导学生直观感知,领悟函数基本概念的意义;

2.引导学生联系代数式和方程的相关知识,继续探索数量关系,增强数学建模意识,列出函数关系式.

教学过程

一、创设情境

在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.

问题1如图是某地一天内的气温变化图.

看图回答:

(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.

(2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?

(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为-1℃、2℃、5℃;

(2)这一天中,最高气温是5℃.最低气温是-4℃;

(3)这一天中,3时~14时的气温在逐渐升高.0时~3时和14时~24时的气温在逐渐降低.

从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢?

 

二、探究归纳

问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率:

观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的.

解 随着存期x的增长,相应的年利率y也随着增长.

 

问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值:

观察上表回答:

(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?

(2)波长l越大,频率f就________.

解 (1) l f的乘积是一个定值,即

lf=300 000,

在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中,刻画气温变化规律的量是时间t和气温T,气温T随着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量(variable)

上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关.一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如xy,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x自变量(independent variable)y因变量(dependent variable),此时也称yx函数(function).表示函数关系的方法通常有三种:

(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?

解 (1)平均身高是146.1cm;

(2)约从14岁开始身高增加特别迅速;

(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量.

 

例2 写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:

(1)圆的周长C与半径r的关系式;

(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式;

(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.

 (1)C=2π r,2π是常量,rC是变量;

(2)s=60t,60是常量,ts是变量;

(3)S=(n-2)×180,2、180是常量,nS是变量.

四、交流反思

1.函数概念包含:

(1)两个变量;

(2)两个变量之间的对应关系.

2.在某个变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量;数值始终保持不变的量,叫做常量.例如xy,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量.

3.函数关系三种表示方法:

(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.

五、检测反馈

1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.

2.分别指出下列各关系式中的变量与常量:

(1)三角形的一边长5cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关

系式是S=5/2h

(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α,则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90-α ;

(3)若某种报纸的单价为a元,x表示购买这种报纸的份数,则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是:yax

3.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量:

(1)每个同学购一本代数教科书,书的单价是2元,求总金额Y(元)与学生数n(个)的关系;

(2)计划购买50元的乒乓球,求所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系.

4.填写如图所示的乘法表,然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数,y表示纵向的乘数,试写出y关于x的函数关系式.


19.1.1  变量与函数(2)

知识技能目标

1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围,以及实际背景对自变量取值的限制;

2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.

过程性目标

1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中,增强数学建模意识;

2.联系求代数式的值的知识,探索求函数值的方法.

教学过程

一、创设情境

问题1填写如图所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向的加数用y表示,试写出yx的函数关系式.

解 如图能发现涂黑的格子成一条直线.

函数关系式:y=10-x

问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.

解 yx的函数关系式:y=180-2x

问题3 如图,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm,ACMN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycm2MA长度x cm之间的函数关系式.

二、探究归纳

思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?如果有,写出它的取值范围.

(2)在上面问题1中,当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是多少?当纵向的加数为6时,横向的加数是多少?

分析 问题1,观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.

问题2,因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°.

问题3,开始时A点与M点重合,MA长度为0cm,随着△ABC不断向右运动过程中,MA长度逐渐增长,最后A点与N点重合时,MA长度达到10cm.

解 (1)问题1,自变量x的取值范围是:1≤x≤9;

问题2,自变量x的取值范围是:0<x<90;

问题3,自变量x的取值范围是:0≤x≤10.

(2)当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是7;当纵向的加数为6时,横向的加数是4.上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如:

s=60t, SπR2

在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,不必须使实际问题有意义.例如,函数解析式SπR2中自变量R的取值范围是全体实数,如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系,那么自变量R的取值范围就应该是R>0.

对于函数 yx(30-x),当自变量x=5时,对应的函数y的值是

y=5×(30-5)=5×25=125.

125叫做这个函数当x=5时的函数值

三、实践应用

例1求下列函数中自变量x的取值范围:(1) y=3x-1; (2) y

(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.

2.求函数值的方法:把所给出的自变量的值代入函数解析式中,即可求出相应的函数值.

 

五、检测反馈

1.分别写出下列各问题中的函数关系式,并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围:

(1)一个正方形的边长为3 cm,它的各边长减少x cm后,得到的新正方形周长为y cm.求yx间的关系式;

(2)寄一封重量在20克以内的市内平信,需邮资0.60元,求寄n封这样的信所需邮资y(元)与n间的函数关系式;

(3)矩形的周长为12 cm,求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式,并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积.

2.求下列函数中自变量x的取值范围:

19.1.2  函数的图象(1)

知识技能目标

1.掌握平面直角坐标系的有关概念;

2.能正确画出直角坐标系,以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标;

3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.

过程性目标

1.联系数轴知识、统计图知识,经历探索平面直角坐标系的概念的过程;

2.通过学生积极动手画图,达到熟练的程度,并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.

教学过程

一、创设情境

如图是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.例如,点A在数轴上的坐标是4,点B在数轴上的坐标是-2.5.知道一个点的坐标,这个点的位置就确定了.

正方向;铅直的数轴叫做y纵轴,取向上为正方向;两数轴的交点O叫做坐标原点

在平面直角坐标系中,任意一点都可以用一对有序实数来表示.例如,图中的点P,从点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为MN.这时,点Mx轴上对应的数为3,称为点P横坐标;点Ny轴上对应的数为2,称为点P纵坐标.依次写出点P的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数(3,2),称为点P坐标.这时点P可记作P(3,2).在直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域,分别称为第一、二、三、四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.

三、实践应用

例1在上图中分别描出坐标是(2,3)、(-2,3)、(3,-2)的点QSR,Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗?S(-2,3)与R(3,-2)是同一点吗?

解 A(-1,2)、B (2,1)、C (2,-1)、D (-1,-1)、E (0,3)、F (-2,0).

(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数;

在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数;

在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数;

在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数;

分析 如图,P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点,作PMx轴于M,在RtPMO中,∠1=∠2=45°,所以|OM|=|MP|,则P点的横坐标,纵坐标绝对值相等,又因为P点位于第一象限内,OM为正值,MP也为正值,所以P点横坐标与纵坐标相同.同样若P点位于第三象限内,则OM为负值,MP也为负值,所以P点横坐标与纵坐标也相同.若P点为第二、四象限角平分线上任一点,则OMMP一正一负,所以P点横坐标与纵坐标互为相反数.

 (1)第一、三象限角平分线上点:横坐标与纵坐标相同;

(2)第二、四象限角平分线上点:横坐标与纵坐标互为相反数.

四、交流反思

1.平面直角坐标系的有关概念及画法;

2.在直角坐标系中,根据坐标找出点;由点求出坐标的方法;

3.在四个象限内的点的坐标特征;两条坐标轴上的点的坐标特征;第一、三象限角平分线上点的坐标特征;第二、四象限角平分线上点的坐标特征;

4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系.

五、检测反馈

1.判断下列说法是否正确:

(1)(2,3)和(3,2)表示同一点;

(2)点(-4,1)与点(4,-1)关于原点对称;

(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0;

(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数.

2.在直角坐标系中描出下列各点,顺次用线段将这些点连起来,并将最后一点与第一点连起来,看看得到的是一个什么图形?

回答了一些问题.现在让我们来回顾一下.

二、探究归纳

先考虑一个简单的问题:你是如何从图上找到各个时刻的气温的?

分析 图中,有一个直角坐标系,它的横轴是t轴,表示时间;它的纵轴是T轴,表示气温.这一气温曲线实质上给出了某日的气温(℃)与时间t(时)的函数关系.例如,上午10时的气温是2℃,表现在气温曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(10,2).实质上也就是说,当t=10时,对应的函数值T=2.气温曲线上每一个点的坐标(t,T),表示时间为t时的气温是T

问题2 如图,这是2004年3月23日上证指数走势图,你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的?

用光滑曲线连线:

四、交流反思

由函数解析式画函数图象,一般按下列步骤进行:

1.列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;

2.描点:以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;

3.连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用光滑的曲线连结起来.

描出的点越多,图象越精确.有时不能把所有的点都描出,就用光滑的曲线连结画出的点,从而得到函数的近似的图象.

通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想.

教学过程

一、创设情境

问题 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山.有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷爷.图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时).

 图中有一个直角坐标系,它的横轴(x轴)和纵轴(y轴)各表示什么?

 横轴(x轴)表示两人爬山所用时间,纵轴(y轴)表示两人离开山脚的距离.

 如图,线段上有一点P,则P的坐标是多少?表示的实际意义是什么?

 P的坐标是(3,90).表示小强爬山3分后,离开山脚的距离90米.

我们能否从图象中看出其它信息呢?

二、探究归纳

看上面问题的图,回答下列问题:

(1)小强让爷爷先上多少米?

(2)山顶离山脚的距离有多少米?谁先爬上山顶?

分析 (1)小强让爷爷先跑的路程,应该看表示爷爷的这条线段.由于从小强开始爬山时计时的,因此这时爷爷爬山所用时间是0,而x轴表示爬山所用时间,得x=0.可在线段上找到这一点A(如图).A点对应的函数值y=60.

(2) y轴表示离开山脚的距离,山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离,也就是函数值y取最大值.可分别在这两条线段上找到这两点BC(如图),过BC两点分别向x轴、y轴作垂线,可发现交y轴于同一点Q(因为两人爬的是同一座山), Q点的数值就是山顶离山脚的距离,分别交x轴于MNMN点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间,比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶.

线段AB:观察这一段图象可发现x值在增大而y值保持不变(小明这段时间离家的距离没有改变),B点横坐标是8,说明小明在阅报栏前看了5分钟报.

线段BC:观察这一段图象可发现随着x值的增大,y值又逐渐增大,最后到达C点,C点的坐标是(10,450),说明小明看了5分钟报后,又向前走了2分钟,到达离家450米处.

线段CD:观察这一段图象可发现随着x值的增大,而y值逐渐减小(10分钟后散步所用时间越长,离家的距离越小),说明小明在返回,最后到达D点,D点的纵坐标是0,表示小明已到家.这一段图象说明从离家250米处返回到家小明走了6分钟.

 小明先走了约3分钟,到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报,又向前走了2分钟,到达离家450米处返回,走了6分钟到家.

四、交流反思

1.画实际问题的图象时,必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了表达的方便,建立直角坐标系时,横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致;

2.在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形,分析两变量的相互关系,给合题意寻找对应的现实情境.

五、检测反馈

1.下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答:

(1)从1830年到1998年,世界总人口数呈怎样的变化趋势?

(2)在图中,显示哪一段时间中世界总人口数变化最快?

3.已知等腰三角形的周长为12cm,若底边长为y cm,一腰长为x cm.

(1)写出yx的函数关系式;(2)求自变量x的取值范围;(3)画出这个函数的图象.

4.周末,小李8时骑自行车从家里出发,到野外郊游,16时回到家里.他离开家后的距离S(千米)与时间t(时)的关系可以用图中的曲线表示.根据这个图象回答下列问题:

(1)小李到达离家最远的地方是什么时间?

(2)小李何时第一次休息?

(3)10时到13时,小骑了多少千米?

(4)返回时,小李的平均车速是多少?

19.2  一次函数(1)

知识技能目标

1.理解一次函数和正比例函数的概念;

2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式.

过程性目标

1.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程,体会数学与现实生活的联系;

2.探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力.

教学过程

一、创设情境

问题1小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.

分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,st的函数关系式是

s=570-95t

说明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的st是两个变量,st的函数,t是自变量,s是因变量.

 

问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式.

分析 我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为:y=50+12x

 

问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?

 

二、探究归纳

上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的.函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.一次函数通常可以表示为ykxb的形式,其中kb是常数,k≠0.

特别地,当b=0时,一次函数ykx(常数k≠0)出叫正比例函数.正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.

 

三、实践应用

例1下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数?

(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm);

(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm);

(3)食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩下煤y吨;

(4)汽车每小时行40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时).

分析 确定函数是否为一次函数或正比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合ykxb(k≠0)或ykx(k≠0)形式,所以此题必须先写出函数解析式后解答.

例5 某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟时间内,只开进油管,不开出油管,油罐的进油至24吨后,将进油管和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围.

分析 因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中,储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的,所以此题因分三个时间段来考虑.但在这三个阶段中,两变量之间均为一次函数关系.

解 在第一阶段:y=3x(0≤x≤8);

在第二阶段:y=16+x(8≤x≤16);

在第三阶段:y=-2x+88(24≤x≤44).

四、交流反思

一次函数、正比例函数以及它们的关系:

函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.一次函数通常可以表示为ykxb的形式,其中kb是常数,k≠0.

特别地,当b=0时,一次函数ykx(常数k≠0)出叫正比例函数.正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.

五、检测反馈

1.已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7

(1)写出yx之间的函数关系.

(2)yx之间是什么函数关系.

(3)计算y=-4时x的值.

2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元,每件另加手续费0.2元,求总邮资y(元)与包裹重量x(千克)之间的函数解析式,并计算5千克重的包裹的邮资.

3.仓库内原有粉笔400盒.如果每个星期领出36盒,求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系.

4.今年植树节,同学们种的树苗高约1.80米.据介绍,这种树苗在10年内平均每年长高0.35米.求树高与年数之间的函数关系式.并算一算4年后同学们中学毕业时这些树约有多高.

5.按照我国税法规定:个人月收入不超过800元,免交个人所得税.超过800元不超过1300元部分需缴纳5%的个人所得税.试写出月收入在800元到1300元之间的人应缴纳的税金y(元)和月收入x(元)之间的函数关系式.


19.2一次函数(2)

知识技能目标

1.理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线;

2.熟练地作出一次函数和正比例函数的图象,掌握kb的取值对直线位置的影响.

过程性目标

1.经历一次函数的作图过程,探索某些一次函数图象的异同点;

2.体会用类比的思想研究一次函数,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.

教学过程

一、创设情境

前面我们学习了用描点法画函数的图象的方法,下面请同学们根据画图象的步骤:列表、描点、连线,在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.

同学们观察并互相讨论,并回答:你所画出的图象是什么形状.

二、探究归纳

观察上面四个函数的图象,发现它们都是直线.请同学举例对你们的发现作出验证.

一次函数ykxb(k≠0)的图象是一条直线,这条直线通常又称为直线ykxb(k≠0).特别地,正比例函数ykx(k≠0)是经过原点的一条直线.

 几点可以确定一条直线?

 两点.

结论 那么今后画一次函数图象时只要取两点,过两点画一条直线就可以了.

请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.

(1)y=-xy=-x+1与y=-x-2;(2)y=2xy=2x+1与y=2x-2.

同一点,且交点坐标为(0,2);

直线y=5x-1与y=5x-4的k都是5,所以这两条直线互相平行.

B(3,-3);

(3)直线上到y轴距离等于1的点C(1,1)和D(-1,5).

四、交流反思

通过这节课的学习,我们学到了哪些新知识?

1.一次函数的图象是一条直线.

2.画一次函数图象时,只要取两个点即可,一般取直线与x轴、y轴的交点比较简便.

   3.两个一次函数,当k一样,b不一样时,共同之处是直线平行,都是由直线ykx(k≠0)向上或向下移动得到,不同之处是它们与y轴的交点不同;当b一样,k不一样时,共同之处是它们与y轴交于同一点(0,b),不同之处是直线不平行.

五、检测反馈

1.在同一坐标系中画出下列函数的图象,并说出它们有什么关系?

(1)y=―2x;  (2) y=―2x―4.

2.(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线   

(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线   

(3)将直线y=-2x+3向下平移5个单位,得到直线   

3.函数ykx-4的图象平行于直线y=-2x,求函数的表达式.

19.2  一次函数(3)

知识技能目标

1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标;

2.会作出实际问题中的一次函数的图象.

过程性目标

1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象,感受数学来源于生活又应用于生活;

2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题.

教学过程

一、创设情境

1.一次函数的图象是什么,如何简便地画出一次函数的图象?

(一次函数ykxb(k≠0)的图象是一条直线,画一次函数图象时,取两点即可画出函数的图象).

2.正比例函数ykx(k≠0)的图象是经过哪一点的直线?

(正比例函数ykx(k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线).

3.平面直角坐标系中,x轴、y轴上的点的坐标有什么特征?

所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.

例5 今年入夏以来,全国大部分地区发生严重干旱.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准,若某户居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,当0≤x≤5时,y=0.72x,当x>5时,y=0.9x-0.9.

(1)画出函数的图象;

(2)观察图象,利用函数解析式,回答自来水公司采取的收费标准.

分析 画函数图象时,应就自变量0≤x≤5和x>5分别画出图象,当0≤x≤5时,是正比例函数,当x>5是一次函数,所以这个函数的图象是一条折线.

解 (1)函数的图象是:

克2.5元.小王携带现金3000元到这市场采购苹果,并以批发价买进.如果购买的苹果为x千克,小王付款后的剩余现金为y元,试写出yx之间的函数关系式并指出自变量的取值范围,画出这个函数的图象.

19.2  一次函数(4)

知识技能目标

1.掌握一次函数ykxb(k≠0)的性质. 2.能根据kb的值说出函数的有关性质.

过程性目标

1.经历探索一次函数图象性质的过程,感受一次函数中kb的值对函数性质的影响;

2.观察图象,体会一次函数kb的取值和直线位置的关系,提高学生数形结合能力.

教学过程

一、创设情境

1.一次函数的图象是一条直线,一般情况下我们画一次函数的图象,取哪两个点比较简便?

直线经过二、四、一象限或经过二、四、三象限.

一次函数ykxb有下列性质:

(1)当k>0时,yx的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升;

(2)当k<0时,yx的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降.

特别地,当b=0时,正比例函数也有上述性质.

b>0,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,直线与y轴交于正半轴.

下面,我们把一次函数中kb的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为:

组间的转化.

教学过程

一、创设情境

一次函数关系式ykxb(k≠0),如果知道了kb的值,函数解析式就确定了,那么有怎样的条件才能求出kb呢?

问题1 已知一个一次函数当自变量x=-2时,函数值y=-1,当x=3时,y=-3.能否写出这个一次函数的解析式呢?

根据一次函数的定义,可以设这个一次函数为:ykxb(k≠0),问题就归结为如何求出kb的值.

由已知条件x=-2时,y=-1,得   -1=-2kb

由已知条件x=3时,y=-3,得   -3=3kb

两个条件都要满足,即解关于x的二元一次方程

2.这个问题是与实际问题有关的函数,自变量往往有一定的范围.

问题3 若一次函数ymx-(m-2)过点(0,3),求m的值.

分析 考虑到直线ymx-(m-2)过点(0,3),说明点(0,3)在直线上,这里虽然已知条件中没有直接给出xy的对应值,但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,它的横坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示与它对应的函数值.所以此题转化为已知x=0时,y=3,求m.即求关于m的一元一次方程.

 当x=0时,y=3.即:3=-(m-2).解得m=-1.

这种先设待求函数关系式(其中含有未知的常数系数),再根据条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法(method  of undeterminedcoefficient)

三、实践应用

例1已知一次函数ykxb的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求当x=5时,函数y的值.

分析 1.图象经过点(-1,1)和点(1,-5),即已知当x=-1时,y=1;x=1时,y=-5.代入函数解析式中,求出kb

2.虽然题意并没有要求写出函数的关系式,但因为要求x=5时,函数y的值,仍需从求函数解析式着手.

例4 已知两条直线y1=2x-3和y2=5-x

(1)在同一坐标系内作出它们的图象;

(2)求出它们的交点A坐标;

(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积;

(4)k为何值时,直线2k+1=5x+4yk=2x+3y的交点在每四象限.

分析 (1)这两个都是一次函数,所以它们的图象是直线,通过列表,取两点,即可画出这两条直线.

(2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解.

(3)求出这两条直线与x轴的交点坐标BC,结合图形易求出三角形ABC的面积.

(4)先求出交点坐标,根据第四象限内的点的横坐标为正,纵坐标为负,可求出k的取值范围.

并写出行李费y(元)与行李重量x(千克)之间的函数关系.

4.一次函数ykxb(k≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1).求它的函数关系式,并画出图象.

5.陈华暑假去某地旅游,导游要大家上山时多带一件衣服,并介绍当地山区海拔每增加100米,气温下降0.6℃.陈华在山脚下看了一下随带的温度计,气温为34℃,乘缆车到山顶发现温度为32.2℃.求山高.

 

19.3  一次函数与一次方程、一次不等式

知识技能目标

1.通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索,提高自主学习和对知识综合应用的能力.

2.让学生用简单的已知函数来拟合实际问题中变量的函数关系.

过程性目标

1.让学生在探索过程中,体会“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展”这一数学建模的基本思想,感受函数知识的应用价值;

2.让学生结合自身的生活经历,模仿尝试解决一些身边的函数应用问题.

教学过程

一、创设情境

问题 为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律,对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下:

第20数据的分析

20.1数据的代表

20.1.1平均数(第一课时)

 

一、教学目的:

1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念

2、使学生掌握加权平均数的计算方法

3、通过本节课的学习,还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用:描述一组数据集中趋势的特征数字,是反映一组数据平均水平的特征数。

二、重点、难点和难点突破的方法:

1、重点:会求加权平均数

2、难点:对“权”的理解

三、例习题意图分析

1、教材P136的问题及讨论栏目在教学中起到的作用。

(1)、这个问题的设计和讨论栏目在此处安排最直接和最重要的目的是想引出权的概念和加权平均数的计算公式。

(2)、这个讨论栏目中的错误解法是初学者常见的思维方式,也是已学者易犯的错误。在这里安排讨论很得当,起揭示思维误区,警示学生、加深认识的作用。

(3)、客观上,教材P136的问题是一个实际问题,它照应了本节的前言——将在实际问题情境中,进一步探讨它们的统计意义,体会它们在解决实际问题中的作用,揭示了统计知识在解决实际问题中的重要作用。

(4)、P137的云朵其实是复习平均数定义,小方块则强调了权意义。

2、教材P137例1的作用如下:

(1)、解决例1要用到加权平均数公式,所以说它最直接、最重要的目的是及时复习巩固公式,并且举例说明了公式用法和解题书写格式,给学生以示范和模仿。

(2)、这里的权没有直接给出数量,而是以比的形式出现,为加深学生对权的意义的理解。

(3)、两个问题中的权数各不相同,直接导致结果有所不同,这既体现了权数在求加权平均数的作用,又反映了应用统计知识解决实际问题时要灵活、体现知识要活学活用。

3、教材P138例2的作用如下:

(1)这个例题再次将加权平均数的计算公式得以及时巩固,让学生熟悉公式的使用和书写步骤。

(2)例2与例1的区别主要在于权的形式又有变化,以百分数的形式出现,升华了学生对权的意义的理解。

(3)它也充分体现了统计知识在实际生活中的广泛应用。

四、课堂引入:

1、若不选择教材中的引入问题,也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例,下举一例可供借鉴参考。

某校初二年级共有4个班,在一次数学考试中参考人数和成绩如下:

班级

1班

2班

3班

4班

参考人数

40

42

45

32

平均成绩

80

81

82

79

求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩?下述计算方法是否合理?为什么?

五、例习题分析:

例1和例2均为计算数据加权平均数型问题,因为是初学尤其之前与平均数计算公式已经作过比较,所以这里应该让学生搞明白问题中是否有权数,即是选择普通的平均数计算还是加权平均数计算,其次若用加权平均数计算,权数又分别是多少?例2的题意理解很重要,一定要让学生体会好这里的几个百分数在总成绩中的作用,它们的作用与权的意义相符,实际上这几个百分数分别表示几项成绩的权。

六、随堂练习:

1、老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:作业占100%、测验占30%、期中占35%、期末考试占35%,小关和小兵的成绩如下表:

学生

作业

测验

期中考试

期末考试

小关

80

75

71

88

小兵

76

80

68

90

2、为了鉴定某种灯泡的质量,对其中100只灯泡的使用寿命进行测量,结果如下表:(单位:小时)

寿命

450

550

600

650

700

只数

20

10

30

15

25

求这些灯泡的平均使用寿命?

20.1数据的代表

20.1.1平均数(第二课时)

一、教学目的:

1、加深对加权平均数的理解   2、会根据频数分布表求加权平均数,从而解决一些实际问题

3、会用计算器求加权平均数的值

二、重点、难点和难点的突破方法:

1、重点:根据频数分布表求加权平均数   2、难点:根据频数分布表求加权平均数

三、例习题的意图分析

1、教材P140探究栏目的意图。

(1)、主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法。

(2)、加深了对“权”意义的理解:当利用组中值近似取代替一组数据中的平均值时,频数恰好反映这组数据的轻重程度,即权。

这个探究栏目也可以帮助学生去回忆、复习七年级下的关于频数分布表的一些内容,比如组、组中值及频数在表中的具体意义。

2、教材P140的思考的意图。

(1)、使学生通过思考这两个问题过程中体会利用统计知识可以解决生活中的许多实际问题

(2)、帮助学生理解表中所表达出来的信息,培养学生分析数据的能力。

3、P141利用计算器计算平均值

这部分篇幅较小,与传统教材那种详细介绍计算器使用方法产生明显对比。一则由于学校中学生使用计算器不同,其操作过程有差别亦不同,再者,各种计算器的使用说明书都有详尽介绍,同时也说明在今后中考趋势仍是不允许使用计算器。所以本节课的重点内容不是利用计算器求加权平均数,但是掌握其使用方法确实可以运算变得简单。统计中一些数据较大、较多的计算也变得容易些了。

四、  课堂引入

采用教材原有的引入问题,设计的几个问题如下:

(1)、请同学读P140探究问题,依据统计表可以读出哪些信息

(2)、这里的组中值指什么,它是怎样确定的?

(3)、第二组数据的频数5指什么呢?

(4)、如果每组数据在本组中分布较为均匀,比组数据的平均值和组中值有什么关系。

五、随堂练习

1、某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况,对学生作课外作业所用时间进行调查,下表是该校初二某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表

(1)、第二组数据的组中值是多少?

(2)、求该班学生平均每天做数学作业所用时间
2、某班40名学生身高情况如下图,

请计算该班学生平均身高

所用时间t(分钟)

人数

0<t≤10

4

0<≤

6

20<t≤20

14

30<t≤40

13

40<t≤50

9

50<t≤60

4

答案1.(1).15. (2)28.  2.  165

七、课后练习:

1、某公司有15名员工,他们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表

该公司每人所创年利润的平均数是多少万元?

2、下表是截至到2002年费尔兹奖得主获奖时的年龄,根据表格中的信息计算获费尔兹奖得主获奖时的平均年龄?

3、为调查居民生活环境质量,环保局对所辖的50个居民区进行了噪音(单位:分贝)水平的调查,结果如下图,求每个小区噪音的平均分贝数。

20.1.2中位数和众数(第一课时)

一、教学目的

1、认识中位数和众数,并会求出一组数据中的众数和中位数。

2、理解中位数和众数的意义和作用。它们也是数据代表,可以反映一定的数据信息,帮助人们在实际问题中分析并做出决策。

3、会利用中位数、众数分析数据信息做出决策。

二、重点、难点和难点的突破方法:

1、重点:认识中位数、众数这两种数据代表

2、难点:利用中位数、众数分析数据信息做出决策。

三、例习题的意图分析

1、教材P143的例4的意图

(1)这个问题的研究对象是一个样本,主要是反映了统计学中常用到一种解决问题的方法:对于数据较多的研究对象,我们可以考察总体中的一个样本,然后由样本的研究结论去估计总体的情况。

(2)这个例题另一个意图是交待了当数据个数为偶数时,中位数的求法和解题步骤。(因为在前面有介绍中位数求法,这里不再重述)

(3)问题2显然反映学习中位数的意义:它可以估计一个数据占总体的相对位置,说明中位数是统计学中的一个重要的数据代表。

(4)这个例题再一次体现了统计学知识与实际生活是紧密联系的,所以应鼓励学生学好这部分知识。

2、教材P145例5的意图

(1)、通过例5应使学生明白通常对待销售问题我们要研究的是众数,它代表该型号的产品销售最好,以便给商家合理的建议。

(2)、例5也交待了众数的求法和解题步骤(由于求法在前面已介绍,这里不再重述)

(3)、例5也反映了众数是数据代表的一种。

四、课堂引入

严格的讲教材本节课没有引入的问题,而是在复习和延伸中位数的定义过程中拉开序幕的,本人很同意这种处理方式,教师可以一句话引入新课:前面已经和同学们研究过了平均数的这个数据代表。它在分析数据过程中担当了重要的角色,今天我们来共同研究和认识数据代表中的新成员——中位数和众数,看看它们在分析数据过程中又起到怎样的作用。

五、例习题的分析

教材P144例4,从所给的数据可以看到并没有按照从小到大(或从大到小)的顺序排列。因此,首先应将数据重新排列,通过观察会发现共有12个数据,偶数个可以取中间的两个数据146、148,求其平均值,便可得这组数据的中位数。

教材P145例5,由表中第二行可以查到23.5号鞋的频数最大,因此这组数据的众数可以得到,所提的建议应围绕利于商家获得较大利润提出。

六、随堂练习

1某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的销售金额,统计了这15个人的销售量如下(单位:件)

1800、510、250、250、210、250、210、210、150、210、150、120、120、210、150

求这15个销售员该月销量的中位数和众数。

假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为320件,你认为合理吗?如果不合理,请你制定一个合理的销售定额并说明理由。

2、某商店3、4月份出售某一品牌各种规格的空调,销售台数如表所示:


1匹

1.2匹

1.5匹

2匹

3月

12台

20台

8台

4台

4月

16台

30台

14台

8台

根据表格回答问题:

商店出售的各种规格空调中,众数是多少?

假如你是经理,现要进货,6月份在有限的资金下进货单位将如何决定?

答案:1. (1)210件、210件   (2)不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数,却不能反映营销人员的一般水平),销售额定为210件合适,因为它既是中位数又是众数,是大部分人能达到的额定。

2.   (1)1.2匹(2)通过观察可知1.2匹的销售最大,所以要多进1.2匹,由于资金有限就要少进2匹空调。

 

 

20.1.2中位数和众数(第二课时)

一、教学目的:

1、进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表。

2、通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异。

3、能灵活应用这三个数据代表解决实际问题。

二、重点、难点和突破难点的方法

1、重点:了解平均数、中位数、众数之间的差异。

2、难点:灵活运用这三个数据代表解决问题。

较多的一种量。另外要注意:

平均数计算要用到所有的数据,它能够充分利用所有的数据信息,但它受极端值的影响较大.

众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时,人们往往关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势,中位数的计算很少也不受极端值的影响.

平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系,任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.

中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的移动对中位数没有影响,中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其趋势.

三、例习题的意图分析:

教材P146例6的意图

(1)、这是在学习过数据的收集、整理、描述与分析之后涉及到这四个环节的一个例题,从分析和解答过程来看它交待了该如何完整的进行这几个过程,为该怎样综合运用已学的统计知识解决实际问题作了一个标准范例。教师在授课过程中也应注意,对已学知识的巩固复习。

(2)、从分析和解答过程来看,此例题的一个主要意图是区分平均数、众数和中位数这三个数据代表的异同。

(3)、由例题中(2)问和(3)问的不同,导致结果的不同,其目的是告诉学生应该根据题目具体要求来灵活运用三个数据代表解决问题。

(4)、本例题也客观的反映了数学知识对生活实践的指导有重要的意义,也体现了统计知识与生活实践是紧密联系的。

四、课堂引入:

本节课的课堂引入可以通过复习平均数、中位数和众数定义开始,为完成重点、突破难点作好铺垫,没有必要牵强的加入一个生活实例作为引入问题。

五、例习题的分析:

例题6中第一问是在巩固平均数定义、中位数定义和众数的定义。可以引导学生从问题中词语特点分析它们分别指哪个数据代表,教师也可以顺便加一个发散性问题,一般地哪些词语是指平均数、中位数和众数呢?

例题6中的第二问学生一般不易想到,教师要将“较高目标”衡量标准引向三个数据代表身上,这样学生就不难回答了。

第三问要抓住一半左右应与哪个数据代表的意义相符这个问题。即要很好的回答第三问,学生头脑必须很清楚平均数、中位数、众数的特点。

六、随堂练习:

1、在一次环保知识竞赛中,某班50名学生成绩如下表所示:

得分

50

60

70

80

90

100

110

120

人数

2

3

6

14

15

5

4

1

分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.

2、公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏,两群游客的年龄如下:(单位:岁)

甲群:13、13、14、15、15、15、16、17、17。

乙群:3、4、4、5、5、6、6、54、57。

(1)、甲群游客的平均年龄是岁,中位数是岁,众数是 岁,其中能较好反映甲群游客年龄特征的是  

(2)、乙群游客的平均年龄是岁,中位数是   岁,众数是  岁。其中能较好反映乙群游客年龄特征的是   

答案:1.  众数90  中位数 85平均数 84.6

2.(1)15、15、15、众数(2).15、5.5、6、中位数

 

 

20.2  数据的波动

20.2.1  极差

一、教学目的:

1、理解极差的定义,知道极差是用来反映数据波动范围的一个量

2、会求一组数据的极差

二、重点、难点和难点的突破方法

1、重点:会求一组数据的极差

2、难点:本节课内容较容易接受,不存在难点。

三、例习题的意图分析

教材P151引例的意图

(1)、主要目的是用来引入极差概念的

(2)、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量

(3)、交待了求一组数据极差的方法。

四、课堂引入:

引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形象直观一些的反映极差的意义,可以画出温度折线图,这样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而喻了。

五、例习题分析

本节课在教材中没有相应的例题,教材P152习题分析

问题1 可由极差计算公式直接得出,由于差值较大,结合本题背景可以说明该村贫富差距较大。问题2 涉及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识。问题3答案并不唯一,合理即可。

六、随堂练习:

1、一组数据:473、865、368、774、539、474的极差是,一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是  .

2、一组数据3、-1、0、2、X的极差是5,且X为自然数,则X= .

3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是()

A.平均数  B.中位数  C.众数  D.极差

4、一组数据X、X…X的极差是8,则另一组数据2X+1、2X+1…,2X+1的极差是( )

A. 8 B.16 C.9  D.17

答案:1.  497、3850  2. 4  3. D   4.B

20.2.2方差(第一课时)

一. 教学目的:

1. 了解方差的定义和计算公式。

2. 理解方差概念的产生和形成的过程。

3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。

二. 重点、难点和难点的突破方法:

1. 重点:方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。

2. 难点:理解方差公式

三. 例习题的意图分析:

1. 教材P125的讨论问题的意图:

(1).创设问题情境,引起学生的学习兴趣和好奇心。

(2).为引入方差概念和方差计算公式作铺垫。

(3).介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法。

(4).客观上反映了在解决某些实际问题时,求平均数或求极差等方法的局限性,使学生体会到学习方差的意义和目的。

2. 教材P154例1的设计意图:

(1).例1放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律之后,不言而喻其主要目的是及时复习,巩固对方差公式的掌握。

(2).例1的解题步骤也为学生做了一个示范,学生以后可以模仿例1的格式解决其他类似的实际问题。

四.课堂引入:

除采用教材中的引例外,可以选择一些更时代气息、更有现实意义的引例。例如,通过学生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像,进而引导教练员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题上,这样引入自然而又真实,学生也更感兴趣一些。

五. 例题的分析:

教材P154例1在分析过程中应抓住以下几点:

1.题目中“整齐”的含义是什么?说明在这个问题中要研究一组数据的什么?学生通过思考可以回答出整齐即波动小,所以要研究两组数据波动大小,这一环节是明确题意。

2.在求方差之前先要求哪个统计量,为什么?学生也可以得出先求平均数,因为公式中需要平均值,这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。

3.方差怎样去体现波动大小?

这一问题的提出主要复习巩固方差,反映数据波动大小的规律。

六. 随堂练习:

1. 从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗,分别测得它的苗高如下:(单位:cm)

甲:9、10、11、12、7、13、10、8、12、8;

乙:8、13、12、11、10、12、7、7、9、11;

问:(1)哪种农作物的苗长的比较高?

(2)哪种农作物的苗长得比较整齐?

2. 段巍和金志强两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如下表所示,谁的成绩比较稳定?为什么?

测试次数

1

2

3

4

5

段巍

13

14

13

12

13

金志强

10

13

16

14

12

参考答案:1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同;(2)甲整齐

  2.段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。

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扫码查看下载全部资源人教版八年级数学下册知识精讲人教版八年级数学下册知识点归纳人教版八年级数学下册期末复习资料课件打包下载17章、勾股定理17.1 勾股定理(1)学习目标:1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发爱国热情,勤奋学习。重点:勾股定理的内容及证明。难点:勾股定理的证明。学习过程:一.预习新知(阅读教材第64至66页,并完成预习内容。)1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系?2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系?归纳:等腰直角三角形三边之间的特殊关系(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢?(2)组织学生小组学习,在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形,并以其三边为边长向外作三个正方形,并分别计算其面积。(3)通过三个正方形的面积关系,你能说明直角三角形是否具有上述结论吗?(4)对于更一般的情形将如何验证呢?二.课堂展示方法一;如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图图形,利用面积证明。S正方形=_______=_____________方法二;已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证:a2+b2=c2。2.完成书上P69习题1、2四.课堂检测1.在Rt△ABC中,∠C=90°①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________。2.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则⑴c=               。(已知a、b,求c)⑵a=               。(已知b、c,求a)⑶b=               。(已知a、c,求b)3.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________。4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是(  )     A、25              B、14            C、7              D、7或255.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为(  )     A、56                    B、48            C、40            D、32五.小结与反思17.1勾股定理(2)学习目标:1.会用勾股定理解决简单的实际问题。2.树立数形结合的思想。3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法。4.培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值。重点:勾股定理的应用。难点:实际问题向数学问题的转化。一.预习新知(阅读教材第66至67页,并完成预习内容。) 1.①在解决问题时,每个直角三角形需知道几个条件? ②直角三角形中哪条边最长?2.在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求AC长.问题(1)在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系? (2)一个门框的尺寸如图1所示.①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过?②若薄木板长3米,宽1.5米呢?③若薄木板长3米,宽2.2米呢?为什么?二.课堂展示例:如图2,一个3米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.①求梯子的底端B距墙角O多少米?②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.算一算,底端滑动的距离近似值(结果保留两位小数).三.随堂练习1.书上P68练习1、2 2.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是        米。 3.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是米,则这两株树之间的垂直距离是      米,水平距离是         米。四.课堂检测1.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是     2.如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路一公里造价为300万元,隧道总长为2公里,隧道造价为500万元,AC=80公里,BC=60公里,则改建后可省工程费用是多少?3.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米,∠B=60°,则江面的宽度为             。4.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为            米。5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点,PQ=16厘米,且RP⊥PQ,则RQ=        厘米。6.如图3,分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,容易得出S1、S2、S3之间有的关系式                .变式:书上P71 -11题如图4.17.1 勾股定理(3)学习目标:1、能利用勾股定理,根据已知直角三角形的两边长求第三条边长;并在数轴上表示无理数。2、体会数与形的密切联系,增强应用意识,提高运用勾股定理解决问题的能力。3、培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见。重点:利用勾股定理在数轴上表示无理数。难点:确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。一.预习新知(阅读教材第67至68页,并完成预习内容。)1.探究:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示的点吗?2.分析:如果能画出长为_______的线段,就能在数轴上画出表示的点。容易知道,长为的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。长为的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗?利用勾股定理,可以发现,长为的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。3.作法:在数轴上找到点A,使OA=_____,作直线垂直于OA,在上取点B,使AB=_____,以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴的交点C即为例1已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。例2已知:如图,等边△ABC的边长是6cm。⑴求等边△ABC的高。⑵求S△ABC。三.随堂练习1.完成书上P71第9题2.填空题⑴在Rt△ABC,∠C=90°,a=8,b=15,则c=      。⑵在Rt△ABC,∠B=90°,a=3,b=4,则c=      。⑶在Rt△ABC,∠C=90°,c=10,a:b=3:4,则a=       ,b=       。(4)已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为             。2.已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形面积。四.课堂检测17.2 勾股定理的逆定理(一)学习目标1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。重点:掌握勾股定理的逆定理及简单应用。难点:勾股定理的逆定理的证明。一.预习新知(阅读教材P73 — 75 ,  完成课前预习)1.三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系?你是怎样得到的?5.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗?(1)两直线平行,内错角相等;(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等;(3)全等三角形的对应角相等;(4)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。二.课堂展示例1:判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形:(1);       (2).(3);      (4);三.随堂练习1.完成书上P75练习1、23.已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD。求证:△ABC是直角三角形。五.小结与反思17.2勾股定理逆定理(2)学习目标:1.进一步掌握勾股定理的逆定理,并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形,能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围。2.培养逻辑推理能力,体会“形”与“数”的结合。3.在不同条件、不同环境中反复运用定理,达到熟练使用,灵活运用的程度。4.培养数学思维以及合情推理意识,感悟勾股定理和逆定理的应用价值。重点:勾股定理的逆定理难点:勾股定理的逆定理的应用一.预习新知已知:如图,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。求:四边形ABCD的面积。归纳:求不规则图形的面积时,要把不规则图形          二.课堂展示2.一个三角形三边之比为3:4:5,则这个三角形三边上的高值比为                             A 3:4:5           B 5:4:3        C 20:15:12           D 10:8:23.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式 +(b-18)2+=0则△ABC是     __三角形。四.课堂检测1.若△ABC的三边a、b、c,满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是(    ) 勾股定理复习(1)学习目标1.理解勾股定理的内容,已知直角三角形的两边,会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理,判断直角三角形.重点:掌握勾股定理及其逆定理.难点:理解勾股定理及其逆定理的应用.一.复习回顾在本章中,我们探索了直角三角形的三边关系,并在此基础上得到了勾股定理,并学习了如何利用拼图验证勾股定理,介绍了勾股定理的用途;本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下:这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2),先构造一个直角边为a,b的直角三角形,由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等,证明定理成立.3.勾股定理的作用:(1)已知直角三角形的两边,求第三边;1.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距(     )A.50cm      B.100cm       C.140cm       D.80cm2.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为(    )A.8cm     B.10cm   C.12cm    D.14cm3.在△ABC中,∠C=90°,若 a=5,b=12,则c=___4.等腰△ABC的面积为12cm2,底上的高AD=3cm,则它的周长为___. 5.等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为___.6.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是__7.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.8.如图3,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m处,已知旗杆原长16m,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗?勾股定理复习(2)学习目标1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系,熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题.2.经历反思本单元知识结构的过程,理解和领会勾股定理和逆定理.3.熟悉勾股定理的历史,进一步了解我国古代数学的伟大成就,激发爱国主义思想,培养良好的学习态度.重点:掌握勾股定理以及逆定理的应用.难点:应用勾股定理以及逆定理.考点一、已知两边求第三边1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm,则斜边长为____.2.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是______.8.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是       .9.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.10.如图1所示,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O 的距离为2m,梯子的顶端B到地面的距离为7m.现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m,同时梯子的顶端B下降到B′,那么BB′也等于1m吗?复习第一步::勾股定理的有关计算例1:(2006年甘肃省定西市中考题)下图阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为        .析解:图中阴影是一个正方形,面积正好是直角三角形一条直角边的平方,因此由勾股定理得正方形边长平方为:172-152=64,故正方形面积为6勾股定理解实际问题例2.(2004年吉林省中考试题)图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图(单位:cm).其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤,阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面,将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆旗顶到地面的高度为220cm.在无风的天气里,彩旗自然下垂,如图②.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.析解:彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF的对角线DE的长度,连接DE,在Rt△DEF中,根据勾股定理,得DE=h=220-150=70(cm)所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm与展开图有关的计算例3、(2005年青岛市中考试题)如图,在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上,求从顶点A到顶点C’的最短距离. 析解:正方体是由平面图形折叠而成,反之,一个正方体也可以把它展开成平面图形,如图是正方体展开成平面图形的一部分,在矩形ACC’A’中,线段AC’是点A到点C’的最短距离.而在正方体中,线段AC’变成了折线,但长度没有改变,所以顶点A到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度.  在矩形ACC’A’中,因为AC=2,CC’=1  所以由勾股定理得AC’=  .∴从顶点A到顶点C’的最短距离为复习第二步:1.易错点:本节同学们的易错点是:在用勾股定理求第三边时,分不清直角三角形的斜边和直角边;另外不论是否是直角三角形就用勾股定理;为了避免这些错误的出现,在解题中,同学们一定要找准直角边和斜边,同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.例4:在Rt△ABC中, a,b,c分别是三条边,∠B=90°,已知a=6,b=10,求边长c.错解:因为a=6,b=10,根据勾股定理得 c=剖析:上面解法,由于审题不仔细,忽视了∠B=90°,这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角边,错把c当成了斜边.正解:因为a=6,b=10,根据勾股定理得,c=温馨提示:运用勾股定理时,一定分清斜边和直角边,不能机械套用c2=a2+b2例5:已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是         错解:因为Rt△ABC的两边长分别为3和4,根据勾股定理得: 第三边长的平方是32+42=25剖析:此题并没有告诉我们已知的边长4一定是直角边,而4有可能是斜边,因此要分类讨论.正解:当4为直角边时,根据勾股定理第三边长的平方是25;当4为斜边时,第三边长的平方为:42-32=7,因此第三边长的平方为:25或7.温馨提示:在用勾股定理时,当斜边没有确定时,应进行分类讨论.例6:已知a,b,c为⊿ABC三边,a=6,b=8,b&lt;c,且c为整数,则c=    .错解:由勾股定理得c=剖析:此题并没有告诉你⊿ABC为直角三角形,因此不能乱用勾股定理.正解:由b&lt;c,结合三角形三边关系得8&lt;c&lt;6+8,即8&lt;c&lt;14,又因c为整数,故c边长为9、10、11、12、13.温馨提示:只有在直角三角形中,才能用勾股定理,因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形.2.思想方法:本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想;例7:如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?析解:因两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以由勾股定理求得AB=10 cm,设CD=x,由题意知则DE=x,AE=AC=6,BE=10-6=4,BD=8-x.在Rt△BDE由勾股定理得:42+x2=(8-x)2,解得x=3,故CD的长能求出且为3.运用中的质疑点:(1)使用勾股定理的前提是直角三角形;(2)在求解问题的过程中,常列方程或方程组来求解;(3)已知直角三角形中两边长,求第三边长,要弄清哪条边是斜边,哪条边是直角边,不能确定时,要分类讨论.复习第三步:选择题  1.已知△ABC中,∠A= ∠B= ∠C,则它的三条边之比为(  ).    A.1:1:     B.1::2    C.1::     D.1:4:1  2.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是(  ).      3.下列各组线段中,能够组成直角三角形的是(  ).    A.6,7,8    B.5,6,7    C.4,5,6    D.3,4,5  4.下列各命题的逆命题成立的是(  )    A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等    C.两直线平行,同位角相等 D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等  5.若等边△ABC的边长为2cm,那么△ABC的面积为(  ).    A. cm2    B.2 cm2    C.3 cm2    D.4cm2  6.在Rt△ABC中,已知其两直角边长a=1,b=3,那么斜边c的长为(  ).7.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上的高为(  )A.6cm    B.8.5cm      C. cm          D. cm8.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距(     )A.50cm      B.100cm       C.140cm       D.80cm9、有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了___米.10.一座桥横跨一江,桥长12m,一般小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸以后,发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶___m.11.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是___.12.在Rt△ABC中,∠C=90°,中线BE=13,另一条中线AD2=331,则AB=___.13.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.14.如图3,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m处,已知旗杆原长16m,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗?请你试一试.15.如图4所示,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O 的距离为2m,梯子的顶端B到地面的距离为7m.现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m,同时梯子的顶端B下降到B′,那么BB′也等于1m吗?16.在△ABC中,三条边的长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1,且n为整数),这个三角形是直角三角形吗?若是,哪个角是直角?与同伴一起研究.15、参考在Rt△ABO中,梯子AB2=AO2+BO2=22+72=53.在Rt△A′B′O中,梯子A′B′2=53=A′O2+B′O2=32+B′O2,所以,B′O===2 >2×3=6.所以BB′=OB-OB′<1. 16、参考.因为a2=n4-2n2+1,b2=4n,c2=n4+2n2+1,a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形,∠C为直角.复习小结通过教学,我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此要注意直角三角形的条件,要创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法,在做辅助线的过程中,提高学生的综合应用能力。在不条件、不同环境中反复运用定理,要达到熟练使用,灵活运用的程度18.1.1  平行四边形及其性质(一)一、教学目的:1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证.3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.二、重点、难点4.重点:平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以及性质的应用.5.难点:运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.三、例题的意图分析    例1是平行四边形性质的实际应用,题目比较简单,其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算,讲课时,可以让学生来解答.例2是补充的一道几何证明题,即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证,又让学生从较简单的几何论证开始,提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力,学会演绎几何论证的方法.此题应让学生自己进行推理论证.四、课堂引入1.我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链,想一想它们是什么几何图形的形象?注意:平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.(教学时要结合图形,让学生认识清楚)2.【探究】平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?我们一起来探究一下.让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形,观察这个四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以,它的边和角之间有什么关系?度量一下,是不是和你猜想的一致?(1)由定义知道,平行四边形的对边平行.根据平行线的性质可知,在平行四边形中,相邻的角互为补角.∵  AB∥CD,AD∥BC,∴  ∠1=∠3,∠2=∠4.又  AC=CA,∴  △ABC≌△CDA (ASA).∴  AB=CD,CB=AD,∠B=∠D.又 ∠1+∠4=∠2+∠3,∴  ∠BAD=∠BCD.由此得到:平行四边形性质1  平行四边形的对边相等.例1(见教材例1)    例2(补充)如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证:AF=CE.分析:要证AF=CE,需证△ADF≌△CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有∠D=∠B,AD=BC,AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得BE=DF.由“边角边”可得出所需要的结论.证明略.六、随堂练习1.填空:(1)在ABCD中,∠A=,则∠B=    度,∠C=    度,∠D=    度.(2)如果ABCD中,∠A—∠B=240,则∠A=   度,∠B=   度,∠C=   度,∠D=   度.18.1.1平行四边形的性质(二)一、   教学目的:1.理解平行四边形中心对称的特征,掌握平行四边形对角线互相平分的性质.2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题,和简单的证明题.3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.二、   重点、难点1.重点:平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用.2.难点:综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.三、例题的意图分析    本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,它是性质3的直接运用,然后对例1进行了引申,可以根据学生的实际情况选讲,并归纳结论:过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线,所得的对应线段相等.例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形,熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的.例2是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算.这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步,需要应用勾股定理,先求得平行四边形一边上的高,然后才能应用公式计算.在以后的解题中,还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题,在教学中要注意使学生掌握其方法.四、课堂引入1.复习提问:(1)什么样的四边形是平行四边形?四边形与平行四边形的关系是:,观察它还和EFGH重合吗?你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你还能发现平行四边形的什么性质吗?结论:(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;         (2)平行四边形的对角线互相平分.五、例习题分析18.1.2(一) 平行四边形的判定一、   教学目的:1.在探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法.2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.二、重点、难点1、:平行四边形的判定方法及应用.2、:平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.三、例题的意图分析四、课堂引入1.欣赏图片、提出问题.展示图片,提出问题,在刚才演示的图片中,有哪些是平行四边形?你是怎样判断的?2.【探究】:小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗?让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件,思考并探讨:(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗?(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形?(3)你能说出你的做法及其道理吗?(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?你能用文字语言表述出来吗?(5)你还能找出其他方法吗?从探究中得到:平行四边形判定方法1   两组对边分别相等的四边形是平行四边形。平行四边形判定方法2   对角线互相平分的四边形是平行四边形。五、例习题分析∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点.例3(补充)小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时,拼成一个六边形.你能在图中找出所有的平行四边形吗?并说说你的理由.解:有6个平行四边形,分别是ABOF,ABCO, BCDO,CDEO,DEFO,EFAO.18.1.2(二) 平行四边形的判定一、   教学目的:1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.2.会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题.3.通过平行四边形的性质与判定的应用,启迪学生的思维,提高分析问题的能力.二、   重点、难点1.重点:平行四边形各种判定方法及其应用,尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.2.难点:平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用.三、例题的意图分析本节课的两个例题都是补充的题目,目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.学生程度好一些的学校,可以适当地自己再补充一些题目,使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明,通过学习,培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力.四、课堂引入行四边形.分析:因为BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,所以BE∥DF.需再证明BE=DF,这需要证明△ABE与△CDF全等,由角角边即可.证明:∵  四边形ABCD是平行四边形,∴  AB=CD,且AB∥CD.∴  ∠BAE=∠DCF.∵  BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,∴  BE∥DF,且∠BEA=∠DFC=90°.∴  △ABE≌△CDF (AAS).∴  BE=DF.18.1.2(三) 平行四边形的判定——三角形的中位线一、   教学目的:1.     理解三角形中位线的概念,掌握它的性质.2.     能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.3.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力.4.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法.二、   重点、难点1.重点:掌握和运用三角形中位线的性质.2.难点:三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法).三、例题的意图分析 例1是是三角形中位线性质的证明题,教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法,它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定,二是为了降低难度,因此教师们在教学中要把握好度.建议讲完例1,引出三角形中位线的概念和性质后,马上做一组练习,以巩固三角形中位线的性质,然后再讲例2.例2是一道补充题,选自老教材的一个例题,它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题,题型挺好,添加辅助线的方法也很巧,结论以后也会经常用到,可根据学生情况适当的选讲例2.教学中,要把辅助线的添加方法讲清楚,可以借助与多媒体或教具.四、课堂引入1.     平行四边形的性质;平行四边形的判定;它们之间有什么联系?2.     你能说说平行四边形性质与判定的用途吗?(答:平行四边形知识的运用包括三个方面:一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题.例如求角的度数,线段的长度,证明角相等或线段相等等;二是判定一个四边形是平行四边形,从而判定直线平行等;三是先判定一个四边形是平行四边形,然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题.)分析:所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【思考】:(1)想一想:①一个三角形的中位线共有几条?②三角形的中位线与中线有什么区别?(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系?(答:(1)一个三角形的中位线共有三条;三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线.(2)三角形的中位线与第三边的关系:三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.)三角形中位线的性质:三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.连结各边中点所成三角形的周长.3.如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,(1)若EF=5cm,则AB= cm;若BC=9cm,则DE=  cm;(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?证明你的猜想.18.2.1  矩形(一)一、教学目的:1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系.2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.3.渗透运动联系、从量变到质变的观点.二、重点、难点1.重点:矩形的性质.2.难点:矩形的性质的灵活应用.三、例题的意图分析例1是教材的例1,它是矩形性质的直接运用,它除了用以巩固所学的矩形性质外,对计算题的格式也起了一个示范作用.例2与例3都是补充的题目,其中通过例2的讲解是想让学生了解:(1)因为矩形四个角都是直角,因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,而利用方程的思想,解决直角三角形中的计算,这是几何计算题中常用的方法;(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式.并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法.四、课堂引入1.展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门,活动衣架,篱笆、井架等),想一想:这里面应用了平行四边形的什么性质?2.思考:拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,观察不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?为什么?(动画演示拉动过程如图)3.再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形?(小学学过的长方形)引出本课题及矩形定义.矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).矩形是我们最常见的图形之一,例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象.【探究】在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线),拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.①随着∠α的变化,两条对角线的长度分别是怎样变化的?②当∠α是直角时,平行四边形变成矩形,此时它的其他内角是什么样的角?它的两条对角线的长度有什么关系?1.(填空)(1)矩形的定义中有两个条件:一是,二是.(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、  、 .(3)已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分别为cm,cm,  cm, cm.2.(选择)(1)下列说法错误的是().(A)矩形的对角线互相平分  (B)矩形的对角线相等(C)有一个角是直角的四边形是矩形  (D)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(2)矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有().(A)2对   (B)4对  (C)6对  (D)8对本节课的三个例题都是补充题,例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件,老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目;例2是利用矩形知识进行计算;例3是一道矩形的判定题,三个题目从不同的角度出发,来综合应用矩形定义及判定等知识的.四、课堂引入  1.什么叫做平行四边形?什么叫做矩形?2.矩形有哪些性质?3.矩形与平行四边形有什么共同之处?有什么不同之处?4.事例引入:小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作,你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗?看看谁的方法可行?通过讨论得到矩形的判定方法.矩形判定方法1:对角钱相等的平行四边形是矩形.矩形判定方法2:有三个角是直角的四边形是矩形.(指出:判定一个四边形是矩形,知道三个角是直角,条件就够了.因为由四边形内角和可知,这时第四个角一定是直角.)五、例习题分析例1(补充)下列各句判定矩形的说法是否正确?为什么?   (1)有一个角是直角的四边形是矩形;  (×)   (2)有四个角是直角的四边形是矩形;   (√)   (3)四个角都相等的四边形是矩形;(√)   (4)对角线相等的四边形是矩形;(×) (5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;(×)(6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(√)(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;(×)(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;(√) (9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.  (√) 指出:(l)所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形;(2)所给四边形添加的条件是三个独立条件,但若与判定方法不同,则需要利用定义和判定方法证明或举反例,才能下结论.∴ ∠EAB+∠ABG=×180°=90°.∴ ∠AFB=90°.同理可证  ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°.∴  四边形EFGH是平行四边形(有三个角是直角的四边形是矩形).六、随堂练习1.(选择)下列说法正确的是().(A)有一组对角是直角的四边形一定是矩形(B)有一组邻角是直角的四边形一定是矩形(C)对角线互相平分的四边形是矩形  (D)对角互补的平行四边形是矩形18.2.2   菱形(一)一、教学目的:1.掌握菱形概念,知道菱形与平行四边形的关系.2.理解并掌握菱形的定义及性质1、2;会用这些性质进行有关的论证和计算,会计算菱形的面积.3.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向学生渗透集合思想.二、重点、难点1.教学重点:菱形的性质1、2.2.教学难点:菱形的性质及菱形知识的综合应用.三、例题的意图分析本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,是为了巩固菱形的性质;例2是教材P108中的例2,这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题.此题目,除用以巩固菱形性质外,还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积,以促进学生熟练、灵活地运用知识.四、课堂引入1.(复习)什么叫做平行四边形?什么叫矩形?平行四边形和矩形之间的关系是什么?2.(引入)我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形,其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示:(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等,从而引出菱形概念.点,且BE=DF.求证:∠AEF=∠AFE. 18.2.2   菱形(二)一、教学目的:1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算;2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.二、重点、难点1.教学重点:菱形的两个判定方法.2.教学难点:判定方法的证明方法及运用.三、例题的意图分析本节课安排了两个例题,其中例1是教材P109的例3,例2是一道补充的题目,这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用,主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法,并会用这些判定方法进行有关的论证和计算.这些题目的推理都比较简单,学生掌握起来不会有什么困难,可以让学生自己去完成.程度好一些的班级,可以选讲例3.四、课堂引入1.复习(1)菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形;(2)菱形的性质1  菱形的四条边都相等;性质2  菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;(3)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?(判定:2个条件)2.【问题】要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其它的判定方法吗?3.【探究】(教材P109的探究)用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?通过演示,容易得到:菱形判定方法1  对角线互相垂直的平行四边形是菱形.注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直.通过教材P109下面菱形的作图,可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法:菱形判定方法2  四边都相等的四边形是菱形. 五、例习题分析例1 (教材P109的例3)略18.2.3正方形一、教学目的1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力. 二、重点、难点1.教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系. 2.教学难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.三、例题的意图分析本节课安排了三个例题,例1是教材P111的例4,例2与例3都是补充的题目.其中例1与例2是正方形性质的应用,在讲解时,应注意引导学生能正确的运用其性质.例3是正方形判定的应用,它是先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边,从而可以判定这个四边形是正方形.随后可以再做一组判断题,进行练习巩固(参看随堂练习1),为了活跃学生的思维,也可以将判断题改为下列问题让学生思考:①对角线相等的菱形是正方形吗?为什么?②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么?③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件?④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么?⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?对角线AC、BD相交于点O(如图).求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵  四边形ABCD是正方形,∴  AC=BD, AC⊥BD,AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO.又   DG⊥AE, ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.∴  PN∥QM,∠PNM=90°.∵  PQ∥NM,∴  四边形PQMN是矩形.∵  四边形ABCD是正方形∴  ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).∴  ∠1+∠2=90°.又  ∠3+∠2=90°,  ∴  ∠1=∠3.∴  △ABM≌△DAN.∴  AM=DN.  同理  AN=DP.∴  AM+AN=DN+DP即  MN=PN.∴  四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).六、随堂练习1.正方形的四条边____,四个角___,两条对角线  __19.1.1  变量与函数(1)知识技能目标1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念;2.了解表示函数关系的三种方法:解析法、列表法、图象法,并会用解析法表示数量关系.过程性目标1.通过实际问题,引导学生直观感知,领悟函数基本概念的意义;2.引导学生联系代数式和方程的相关知识,继续探索数量关系,增强数学建模意识,列出函数关系式.教学过程一、创设情境在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.问题1如图是某地一天内的气温变化图.看图回答:(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.(2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?解(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为-1℃、2℃、5℃;(2)这一天中,最高气温是5℃.最低气温是-4℃;(3)这一天中,3时~14时的气温在逐渐升高.0时~3时和14时~24时的气温在逐渐降低.从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢? 二、探究归纳问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率:观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的.解 随着存期x的增长,相应的年利率y也随着增长. 问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值:观察上表回答:(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?(2)波长l越大,频率f就________.解 (1) l与 f的乘积是一个定值,即lf=300 000,在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中,刻画气温变化规律的量是时间t和气温T,气温T随着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量(variable).上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关.一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x和y,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x是自变量(independent variable),y是因变量(dependent variable),此时也称y是x的函数(function).表示函数关系的方法通常有三种:(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?解 (1)平均身高是146.1cm;(2)约从14岁开始身高增加特别迅速;(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量. 例2 写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:(1)圆的周长C与半径r的关系式;(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式;(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.解 (1)C=2π r,2π是常量,r、C是变量;(2)s=60t,60是常量,t、s是变量;(3)S=(n-2)×180,2、180是常量,n、S是变量.四、交流反思1.函数概念包含:(1)两个变量;(2)两个变量之间的对应关系.2.在某个变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量;数值始终保持不变的量,叫做常量.例如x和y,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量.3.函数关系三种表示方法:(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.五、检测反馈1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.2.分别指出下列各关系式中的变量与常量:(1)三角形的一边长5cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是S=5/2h(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α,则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90-α ;(3)若某种报纸的单价为a元,x表示购买这种报纸的份数,则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是:y=ax.3.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量:(1)每个同学购一本代数教科书,书的单价是2元,求总金额Y(元)与学生数n(个)的关系;(2)计划购买50元的乒乓球,求所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系.4.填写如图所示的乘法表,然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数,y表示纵向的乘数,试写出y关于x的函数关系式.19.1.1  变量与函数(2)知识技能目标1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围,以及实际背景对自变量取值的限制;2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.过程性目标1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中,增强数学建模意识;2.联系求代数式的值的知识,探索求函数值的方法.教学过程一、创设情境问题1填写如图所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向的加数用y表示,试写出y与x的函数关系式.解 如图能发现涂黑的格子成一条直线.函数关系式:y=10-x.问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.解 y与x的函数关系式:y=180-2x.问题3 如图,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式.二、探究归纳思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?如果有,写出它的取值范围.(2)在上面问题1中,当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是多少?当纵向的加数为6时,横向的加数是多少?分析 问题1,观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.问题2,因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°.问题3,开始时A点与M点重合,MA长度为0cm,随着△ABC不断向右运动过程中,MA长度逐渐增长,最后A点与N点重合时,MA长度达到10cm.解 (1)问题1,自变量x的取值范围是:1≤x≤9;问题2,自变量x的取值范围是:0<x<90;问题3,自变量x的取值范围是:0≤x≤10.(2)当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是7;当纵向的加数为6时,横向的加数是4.上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如:s=60t, S=πR2.在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,不必须使实际问题有意义.例如,函数解析式S=πR2中自变量R的取值范围是全体实数,如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系,那么自变量R的取值范围就应该是R>0.对于函数 y=x(30-x),当自变量x=5时,对应的函数y的值是y=5×(30-5)=5×25=125.125叫做这个函数当x=5时的函数值.三、实践应用例1求下列函数中自变量x的取值范围:(1) y=3x-1; (2) y=(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.2.求函数值的方法:把所给出的自变量的值代入函数解析式中,即可求出相应的函数值. 五、检测反馈1.分别写出下列各问题中的函数关系式,并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围:(1)一个正方形的边长为3 cm,它的各边长减少x cm后,得到的新正方形周长为y cm.求y和x间的关系式;(2)寄一封重量在20克以内的市内平信,需邮资0.60元,求寄n封这样的信所需邮资y(元)与n间的函数关系式;(3)矩形的周长为12 cm,求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式,并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积.2.求下列函数中自变量x的取值范围:19.1.2  函数的图象(1)知识技能目标1.掌握平面直角坐标系的有关概念;2.能正确画出直角坐标系,以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标;3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.过程性目标1.联系数轴知识、统计图知识,经历探索平面直角坐标系的概念的过程;2.通过学生积极动手画图,达到熟练的程度,并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.教学过程一、创设情境如图是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.例如,点A在数轴上的坐标是4,点B在数轴上的坐标是-2.5.知道一个点的坐标,这个点的位置就确定了.正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两数轴的交点O叫做坐标原点.在平面直角坐标系中,任意一点都可以用一对有序实数来表示.例如,图中的点P,从点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M和N.这时,点M在x轴上对应的数为3,称为点P的横坐标;点N在y轴上对应的数为2,称为点P的纵坐标.依次写出点P的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数(3,2),称为点P的坐标.这时点P可记作P(3,2).在直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域,分别称为第一、二、三、四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.三、实践应用例1在上图中分别描出坐标是(2,3)、(-2,3)、(3,-2)的点Q、S、R,Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗?S(-2,3)与R(3,-2)是同一点吗?解 A(-1,2)、B (2,1)、C (2,-1)、D (-1,-1)、E (0,3)、F (-2,0).(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数;在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数;在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数;在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数;分析 如图,P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点,作PM⊥x轴于M,在Rt△PMO中,∠1=∠2=45°,所以|OM|=|MP|,则P点的横坐标,纵坐标绝对值相等,又因为P点位于第一象限内,OM为正值,MP也为正值,所以P点横坐标与纵坐标相同.同样若P点位于第三象限内,则OM为负值,MP也为负值,所以P点横坐标与纵坐标也相同.若P点为第二、四象限角平分线上任一点,则OM与MP一正一负,所以P点横坐标与纵坐标互为相反数.解 (1)第一、三象限角平分线上点:横坐标与纵坐标相同;(2)第二、四象限角平分线上点:横坐标与纵坐标互为相反数.四、交流反思1.平面直角坐标系的有关概念及画法;2.在直角坐标系中,根据坐标找出点;由点求出坐标的方法;3.在四个象限内的点的坐标特征;两条坐标轴上的点的坐标特征;第一、三象限角平分线上点的坐标特征;第二、四象限角平分线上点的坐标特征;4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系.五、检测反馈1.判断下列说法是否正确:(1)(2,3)和(3,2)表示同一点;(2)点(-4,1)与点(4,-1)关于原点对称;(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0;(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数.2.在直角坐标系中描出下列各点,顺次用线段将这些点连起来,并将最后一点与第一点连起来,看看得到的是一个什么图形?回答了一些问题.现在让我们来回顾一下.二、探究归纳先考虑一个简单的问题:你是如何从图上找到各个时刻的气温的?分析 图中,有一个直角坐标系,它的横轴是t轴,表示时间;它的纵轴是T轴,表示气温.这一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t(时)的函数关系.例如,上午10时的气温是2℃,表现在气温曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(10,2).实质上也就是说,当t=10时,对应的函数值T=2.气温曲线上每一个点的坐标(t,T),表示时间为t时的气温是T.问题2 如图,这是2004年3月23日上证指数走势图,你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的?用光滑曲线连线:四、交流反思由函数解析式画函数图象,一般按下列步骤进行:1.列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;2.描点:以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;3.连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用光滑的曲线连结起来.描出的点越多,图象越精确.有时不能把所有的点都描出,就用光滑的曲线连结画出的点,从而得到函数的近似的图象.通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想.教学过程一、创设情境问题 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山.有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷爷.图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时).问 图中有一个直角坐标系,它的横轴(x轴)和纵轴(y轴)各表示什么?答 横轴(x轴)表示两人爬山所用时间,纵轴(y轴)表示两人离开山脚的距离.问 如图,线段上有一点P,则P的坐标是多少?表示的实际意义是什么?答 P的坐标是(3,90).表示小强爬山3分后,离开山脚的距离90米.我们能否从图象中看出其它信息呢?二、探究归纳看上面问题的图,回答下列问题:(1)小强让爷爷先上多少米?(2)山顶离山脚的距离有多少米?谁先爬上山顶?分析 (1)小强让爷爷先跑的路程,应该看表示爷爷的这条线段.由于从小强开始爬山时计时的,因此这时爷爷爬山所用时间是0,而x轴表示爬山所用时间,得x=0.可在线段上找到这一点A(如图).A点对应的函数值y=60.(2) y轴表示离开山脚的距离,山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离,也就是函数值y取最大值.可分别在这两条线段上找到这两点B、C(如图),过B、C两点分别向x轴、y轴作垂线,可发现交y轴于同一点Q(因为两人爬的是同一座山), Q点的数值就是山顶离山脚的距离,分别交x轴于M、N,M、N点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间,比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶.线段AB:观察这一段图象可发现x值在增大而y值保持不变(小明这段时间离家的距离没有改变),B点横坐标是8,说明小明在阅报栏前看了5分钟报.线段BC:观察这一段图象可发现随着x值的增大,y值又逐渐增大,最后到达C点,C点的坐标是(10,450),说明小明看了5分钟报后,又向前走了2分钟,到达离家450米处.线段CD:观察这一段图象可发现随着x值的增大,而y值逐渐减小(10分钟后散步所用时间越长,离家的距离越小),说明小明在返回,最后到达D点,D点的纵坐标是0,表示小明已到家.这一段图象说明从离家250米处返回到家小明走了6分钟.解 小明先走了约3分钟,到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报,又向前走了2分钟,到达离家450米处返回,走了6分钟到家.四、交流反思1.画实际问题的图象时,必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了表达的方便,建立直角坐标系时,横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致;2.在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形,分析两变量的相互关系,给合题意寻找对应的现实情境.五、检测反馈1.下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答:(1)从1830年到1998年,世界总人口数呈怎样的变化趋势?(2)在图中,显示哪一段时间中世界总人口数变化最快?3.已知等腰三角形的周长为12cm,若底边长为y cm,一腰长为x cm.(1)写出y与x的函数关系式;(2)求自变量x的取值范围;(3)画出这个函数的图象.4.周末,小李8时骑自行车从家里出发,到野外郊游,16时回到家里.他离开家后的距离S(千米)与时间t(时)的关系可以用图中的曲线表示.根据这个图象回答下列问题:(1)小李到达离家最远的地方是什么时间?(2)小李何时第一次休息?(3)10时到13时,小骑了多少千米?(4)返回时,小李的平均车速是多少?19.2  一次函数(1)知识技能目标1.理解一次函数和正比例函数的概念;2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式.过程性目标1.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程,体会数学与现实生活的联系;2.探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力.教学过程一、创设情境问题1小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是s=570-95t.说明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量,s是t的函数,t是自变量,s是因变量. 问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式.分析 我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为:y=50+12x. 问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点? 二、探究归纳上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的.函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0.特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)出叫正比例函数.正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例. 三、实践应用例1下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数?(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm);(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm);(3)食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩下煤y吨;(4)汽车每小时行40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时).分析 确定函数是否为一次函数或正比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx+b(k≠0)或y=kx(k≠0)形式,所以此题必须先写出函数解析式后解答.例5 某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟时间内,只开进油管,不开出油管,油罐的进油至24吨后,将进油管和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围.分析 因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中,储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的,所以此题因分三个时间段来考虑.但在这三个阶段中,两变量之间均为一次函数关系.解 在第一阶段:y=3x(0≤x≤8);在第二阶段:y=16+x(8≤x≤16);在第三阶段:y=-2x+88(24≤x≤44).四、交流反思一次函数、正比例函数以及它们的关系:函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0.特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)出叫正比例函数.正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.五、检测反馈1.已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7(1)写出y与x之间的函数关系.(2)y与x之间是什么函数关系.(3)计算y=-4时x的值.2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元,每件另加手续费0.2元,求总邮资y(元)与包裹重量x(千克)之间的函数解析式,并计算5千克重的包裹的邮资.3.仓库内原有粉笔400盒.如果每个星期领出36盒,求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系.4.今年植树节,同学们种的树苗高约1.80米.据介绍,这种树苗在10年内平均每年长高0.35米.求树高与年数之间的函数关系式.并算一算4年后同学们中学毕业时这些树约有多高.5.按照我国税法规定:个人月收入不超过800元,免交个人所得税.超过800元不超过1300元部分需缴纳5%的个人所得税.试写出月收入在800元到1300元之间的人应缴纳的税金y(元)和月收入x(元)之间的函数关系式.19.2一次函数(2)知识技能目标1.理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线;2.熟练地作出一次函数和正比例函数的图象,掌握k与b的取值对直线位置的影响.过程性目标1.经历一次函数的作图过程,探索某些一次函数图象的异同点;2.体会用类比的思想研究一次函数,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.教学过程一、创设情境前面我们学习了用描点法画函数的图象的方法,下面请同学们根据画图象的步骤:列表、描点、连线,在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.同学们观察并互相讨论,并回答:你所画出的图象是什么形状.二、探究归纳观察上面四个函数的图象,发现它们都是直线.请同学举例对你们的发现作出验证.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,这条直线通常又称为直线y=kx+b(k≠0).特别地,正比例函数y=kx(k≠0)是经过原点的一条直线.问 几点可以确定一条直线?答 两点.结论 那么今后画一次函数图象时只要取两点,过两点画一条直线就可以了.请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.(1)y=-x、y=-x+1与y=-x-2;(2)y=2x、y=2x+1与y=2x-2.同一点,且交点坐标为(0,2);直线y=5x-1与y=5x-4的k都是5,所以这两条直线互相平行.点B(3,-3);(3)直线上到y轴距离等于1的点C(1,1)和D(-1,5).四、交流反思通过这节课的学习,我们学到了哪些新知识?1.一次函数的图象是一条直线.2.画一次函数图象时,只要取两个点即可,一般取直线与x轴、y轴的交点比较简便.   3.两个一次函数,当k一样,b不一样时,共同之处是直线平行,都是由直线y=kx(k≠0)向上或向下移动得到,不同之处是它们与y轴的交点不同;当b一样,k不一样时,共同之处是它们与y轴交于同一点(0,b),不同之处是直线不平行.五、检测反馈1.在同一坐标系中画出下列函数的图象,并说出它们有什么关系?(1)y=―2x;  (2) y=―2x―4.2.(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线   ;(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线   ;(3)将直线y=-2x+3向下平移5个单位,得到直线   .3.函数y=kx-4的图象平行于直线y=-2x,求函数的表达式.19.2  一次函数(3)知识技能目标1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标;2.会作出实际问题中的一次函数的图象.过程性目标1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象,感受数学来源于生活又应用于生活;2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题.教学过程一、创设情境1.一次函数的图象是什么,如何简便地画出一次函数的图象?(一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,画一次函数图象时,取两点即可画出函数的图象).2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过哪一点的直线?(正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线).3.平面直角坐标系中,x轴、y轴上的点的坐标有什么特征?所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.例5 今年入夏以来,全国大部分地区发生严重干旱.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准,若某户居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,当0≤x≤5时,y=0.72x,当x>5时,y=0.9x-0.9.(1)画出函数的图象;(2)观察图象,利用函数解析式,回答自来水公司采取的收费标准.分析 画函数图象时,应就自变量0≤x≤5和x>5分别画出图象,当0≤x≤5时,是正比例函数,当x>5是一次函数,所以这个函数的图象是一条折线.解 (1)函数的图象是:克2.5元.小王携带现金3000元到这市场采购苹果,并以批发价买进.如果购买的苹果为x千克,小王付款后的剩余现金为y元,试写出y与x之间的函数关系式并指出自变量的取值范围,画出这个函数的图象.19.2  一次函数(4)知识技能目标1.掌握一次函数y=kx+b(k≠0)的性质. 2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.过程性目标1.经历探索一次函数图象性质的过程,感受一次函数中k与b的值对函数性质的影响;2.观察图象,体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系,提高学生数形结合能力.教学过程一、创设情境1.一次函数的图象是一条直线,一般情况下我们画一次函数的图象,取哪两个点比较简便?直线经过二、四、一象限或经过二、四、三象限.一次函数y=kx+b有下列性质:(1)当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升;(2)当k<0时,y随x的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降.特别地,当b=0时,正比例函数也有上述性质.当b>0,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,直线与y轴交于正半轴.下面,我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为:组间的转化.教学过程一、创设情境一次函数关系式y=kx+b(k≠0),如果知道了k与b的值,函数解析式就确定了,那么有怎样的条件才能求出k和b呢?问题1 已知一个一次函数当自变量x=-2时,函数值y=-1,当x=3时,y=-3.能否写出这个一次函数的解析式呢?根据一次函数的定义,可以设这个一次函数为:y=kx+b(k≠0),问题就归结为如何求出k与b的值.由已知条件x=-2时,y=-1,得   -1=-2k+b.由已知条件x=3时,y=-3,得   -3=3k+b.两个条件都要满足,即解关于x的二元一次方程2.这个问题是与实际问题有关的函数,自变量往往有一定的范围.问题3 若一次函数y=mx-(m-2)过点(0,3),求m的值.分析 考虑到直线y=mx-(m-2)过点(0,3),说明点(0,3)在直线上,这里虽然已知条件中没有直接给出x和y的对应值,但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,它的横坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示与它对应的函数值.所以此题转化为已知x=0时,y=3,求m.即求关于m的一元一次方程.解 当x=0时,y=3.即:3=-(m-2).解得m=-1.这种先设待求函数关系式(其中含有未知的常数系数),再根据条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法(method  of undeterminedcoefficient).三、实践应用例1已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求当x=5时,函数y的值.分析 1.图象经过点(-1,1)和点(1,-5),即已知当x=-1时,y=1;x=1时,y=-5.代入函数解析式中,求出k与b.2.虽然题意并没有要求写出函数的关系式,但因为要求x=5时,函数y的值,仍需从求函数解析式着手.例4 已知两条直线y1=2x-3和y2=5-x.(1)在同一坐标系内作出它们的图象;(2)求出它们的交点A坐标;(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积;(4)k为何值时,直线2k+1=5x+4y与k=2x+3y的交点在每四象限.分析 (1)这两个都是一次函数,所以它们的图象是直线,通过列表,取两点,即可画出这两条直线.(2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解.(3)求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C,结合图形易求出三角形ABC的面积.(4)先求出交点坐标,根据第四象限内的点的横坐标为正,纵坐标为负,可求出k的取值范围.并写出行李费y(元)与行李重量x(千克)之间的函数关系.4.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1).求它的函数关系式,并画出图象.5.陈华暑假去某地旅游,导游要大家上山时多带一件衣服,并介绍当地山区海拔每增加100米,气温下降0.6℃.陈华在山脚下看了一下随带的温度计,气温为34℃,乘缆车到山顶发现温度为32.2℃.求山高. 19.3  一次函数与一次方程、一次不等式知识技能目标1.通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索,提高自主学习和对知识综合应用的能力.2.让学生用简单的已知函数来拟合实际问题中变量的函数关系.过程性目标1.让学生在探索过程中,体会“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展”这一数学建模的基本思想,感受函数知识的应用价值;2.让学生结合自身的生活经历,模仿尝试解决一些身边的函数应用问题.教学过程一、创设情境问题 为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律,对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下:第20数据的分析20.1数据的代表20.1.1平均数(第一课时) 一、教学目的:1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念2、使学生掌握加权平均数的计算方法3、通过本节课的学习,还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用:描述一组数据集中趋势的特征数字,是反映一组数据平均水平的特征数。二、重点、难点和难点突破的方法:1、重点:会求加权平均数2、难点:对“权”的理解三、例习题意图分析1、教材P136的问题及讨论栏目在教学中起到的作用。(1)、这个问题的设计和讨论栏目在此处安排最直接和最重要的目的是想引出权的概念和加权平均数的计算公式。(2)、这个讨论栏目中的错误解法是初学者常见的思维方式,也是已学者易犯的错误。在这里安排讨论很得当,起揭示思维误区,警示学生、加深认识的作用。(3)、客观上,教材P136的问题是一个实际问题,它照应了本节的前言——将在实际问题情境中,进一步探讨它们的统计意义,体会它们在解决实际问题中的作用,揭示了统计知识在解决实际问题中的重要作用。(4)、P137的云朵其实是复习平均数定义,小方块则强调了权意义。2、教材P137例1的作用如下:(1)、解决例1要用到加权平均数公式,所以说它最直接、最重要的目的是及时复习巩固公式,并且举例说明了公式用法和解题书写格式,给学生以示范和模仿。(2)、这里的权没有直接给出数量,而是以比的形式出现,为加深学生对权的意义的理解。(3)、两个问题中的权数各不相同,直接导致结果有所不同,这既体现了权数在求加权平均数的作用,又反映了应用统计知识解决实际问题时要灵活、体现知识要活学活用。3、教材P138例2的作用如下:(1)这个例题再次将加权平均数的计算公式得以及时巩固,让学生熟悉公式的使用和书写步骤。(2)例2与例1的区别主要在于权的形式又有变化,以百分数的形式出现,升华了学生对权的意义的理解。(3)它也充分体现了统计知识在实际生活中的广泛应用。四、课堂引入:1、若不选择教材中的引入问题,也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例,下举一例可供借鉴参考。某校初二年级共有4个班,在一次数学考试中参考人数和成绩如下:班级1班2班3班4班参考人数40424532平均成绩80818279求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩?下述计算方法是否合理?为什么?五、例习题分析:例1和例2均为计算数据加权平均数型问题,因为是初学尤其之前与平均数计算公式已经作过比较,所以这里应该让学生搞明白问题中是否有权数,即是选择普通的平均数计算还是加权平均数计算,其次若用加权平均数计算,权数又分别是多少?例2的题意理解很重要,一定要让学生体会好这里的几个百分数在总成绩中的作用,它们的作用与权的意义相符,实际上这几个百分数分别表示几项成绩的权。六、随堂练习:1、老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:作业占100%、测验占30%、期中占35%、期末考试占35%,小关和小兵的成绩如下表:学生作业测验期中考试期末考试小关80757188小兵768068902、为了鉴定某种灯泡的质量,对其中100只灯泡的使用寿命进行测量,结果如下表:(单位:小时)寿命450550600650700只数2010301525求这些灯泡的平均使用寿命?20.1数据的代表20.1.1平均数(第二课时)一、教学目的:1、加深对加权平均数的理解   2、会根据频数分布表求加权平均数,从而解决一些实际问题3、会用计算器求加权平均数的值二、重点、难点和难点的突破方法:1、重点:根据频数分布表求加权平均数   2、难点:根据频数分布表求加权平均数三、例习题的意图分析1、教材P140探究栏目的意图。(1)、主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法。(2)、加深了对“权”意义的理解:当利用组中值近似取代替一组数据中的平均值时,频数恰好反映这组数据的轻重程度,即权。这个探究栏目也可以帮助学生去回忆、复习七年级下的关于频数分布表的一些内容,比如组、组中值及频数在表中的具体意义。2、教材P140的思考的意图。(1)、使学生通过思考这两个问题过程中体会利用统计知识可以解决生活中的许多实际问题(2)、帮助学生理解表中所表达出来的信息,培养学生分析数据的能力。3、P141利用计算器计算平均值这部分篇幅较小,与传统教材那种详细介绍计算器使用方法产生明显对比。一则由于学校中学生使用计算器不同,其操作过程有差别亦不同,再者,各种计算器的使用说明书都有详尽介绍,同时也说明在今后中考趋势仍是不允许使用计算器。所以本节课的重点内容不是利用计算器求加权平均数,但是掌握其使用方法确实可以运算变得简单。统计中一些数据较大、较多的计算也变得容易些了。四、  课堂引入采用教材原有的引入问题,设计的几个问题如下:(1)、请同学读P140探究问题,依据统计表可以读出哪些信息(2)、这里的组中值指什么,它是怎样确定的?(3)、第二组数据的频数5指什么呢?(4)、如果每组数据在本组中分布较为均匀,比组数据的平均值和组中值有什么关系。五、随堂练习1、某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况,对学生作课外作业所用时间进行调查,下表是该校初二某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表(1)、第二组数据的组中值是多少?(2)、求该班学生平均每天做数学作业所用时间2、某班40名学生身高情况如下图,请计算该班学生平均身高所用时间t(分钟)人数0<t≤1040<≤620<t≤201430<t≤401340<t≤50950<t≤604答案1.(1).15. (2)28.  2.  165七、课后练习:1、某公司有15名员工,他们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表该公司每人所创年利润的平均数是多少万元?2、下表是截至到2002年费尔兹奖得主获奖时的年龄,根据表格中的信息计算获费尔兹奖得主获奖时的平均年龄?3、为调查居民生活环境质量,环保局对所辖的50个居民区进行了噪音(单位:分贝)水平的调查,结果如下图,求每个小区噪音的平均分贝数。20.1.2中位数和众数(第一课时)一、教学目的1、认识中位数和众数,并会求出一组数据中的众数和中位数。2、理解中位数和众数的意义和作用。它们也是数据代表,可以反映一定的数据信息,帮助人们在实际问题中分析并做出决策。3、会利用中位数、众数分析数据信息做出决策。二、重点、难点和难点的突破方法:1、重点:认识中位数、众数这两种数据代表2、难点:利用中位数、众数分析数据信息做出决策。三、例习题的意图分析1、教材P143的例4的意图(1)这个问题的研究对象是一个样本,主要是反映了统计学中常用到一种解决问题的方法:对于数据较多的研究对象,我们可以考察总体中的一个样本,然后由样本的研究结论去估计总体的情况。(2)这个例题另一个意图是交待了当数据个数为偶数时,中位数的求法和解题步骤。(因为在前面有介绍中位数求法,这里不再重述)(3)问题2显然反映学习中位数的意义:它可以估计一个数据占总体的相对位置,说明中位数是统计学中的一个重要的数据代表。(4)这个例题再一次体现了统计学知识与实际生活是紧密联系的,所以应鼓励学生学好这部分知识。2、教材P145例5的意图(1)、通过例5应使学生明白通常对待销售问题我们要研究的是众数,它代表该型号的产品销售最好,以便给商家合理的建议。(2)、例5也交待了众数的求法和解题步骤(由于求法在前面已介绍,这里不再重述)(3)、例5也反映了众数是数据代表的一种。四、课堂引入严格的讲教材本节课没有引入的问题,而是在复习和延伸中位数的定义过程中拉开序幕的,本人很同意这种处理方式,教师可以一句话引入新课:前面已经和同学们研究过了平均数的这个数据代表。它在分析数据过程中担当了重要的角色,今天我们来共同研究和认识数据代表中的新成员——中位数和众数,看看它们在分析数据过程中又起到怎样的作用。五、例习题的分析教材P144例4,从所给的数据可以看到并没有按照从小到大(或从大到小)的顺序排列。因此,首先应将数据重新排列,通过观察会发现共有12个数据,偶数个可以取中间的两个数据146、148,求其平均值,便可得这组数据的中位数。教材P145例5,由表中第二行可以查到23.5号鞋的频数最大,因此这组数据的众数可以得到,所提的建议应围绕利于商家获得较大利润提出。六、随堂练习1某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的销售金额,统计了这15个人的销售量如下(单位:件)1800、510、250、250、210、250、210、210、150、210、150、120、120、210、150求这15个销售员该月销量的中位数和众数。假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为320件,你认为合理吗?如果不合理,请你制定一个合理的销售定额并说明理由。2、某商店3、4月份出售某一品牌各种规格的空调,销售台数如表所示:1匹1.2匹1.5匹2匹3月12台20台8台4台4月16台30台14台8台根据表格回答问题:商店出售的各种规格空调中,众数是多少?假如你是经理,现要进货,6月份在有限的资金下进货单位将如何决定?答案:1. (1)210件、210件   (2)不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数,却不能反映营销人员的一般水平),销售额定为210件合适,因为它既是中位数又是众数,是大部分人能达到的额定。2.   (1)1.2匹(2)通过观察可知1.2匹的销售最大,所以要多进1.2匹,由于资金有限就要少进2匹空调。  20.1.2中位数和众数(第二课时)一、教学目的:1、进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表。2、通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异。3、能灵活应用这三个数据代表解决实际问题。二、重点、难点和突破难点的方法1、重点:了解平均数、中位数、众数之间的差异。2、难点:灵活运用这三个数据代表解决问题。较多的一种量。另外要注意:平均数计算要用到所有的数据,它能够充分利用所有的数据信息,但它受极端值的影响较大.众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时,人们往往关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势,中位数的计算很少也不受极端值的影响.平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系,任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的移动对中位数没有影响,中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其趋势.三、例习题的意图分析:教材P146例6的意图(1)、这是在学习过数据的收集、整理、描述与分析之后涉及到这四个环节的一个例题,从分析和解答过程来看它交待了该如何完整的进行这几个过程,为该怎样综合运用已学的统计知识解决实际问题作了一个标准范例。教师在授课过程中也应注意,对已学知识的巩固复习。(2)、从分析和解答过程来看,此例题的一个主要意图是区分平均数、众数和中位数这三个数据代表的异同。(3)、由例题中(2)问和(3)问的不同,导致结果的不同,其目的是告诉学生应该根据题目具体要求来灵活运用三个数据代表解决问题。(4)、本例题也客观的反映了数学知识对生活实践的指导有重要的意义,也体现了统计知识与生活实践是紧密联系的。四、课堂引入:本节课的课堂引入可以通过复习平均数、中位数和众数定义开始,为完成重点、突破难点作好铺垫,没有必要牵强的加入一个生活实例作为引入问题。五、例习题的分析:例题6中第一问是在巩固平均数定义、中位数定义和众数的定义。可以引导学生从问题中词语特点分析它们分别指哪个数据代表,教师也可以顺便加一个发散性问题,一般地哪些词语是指平均数、中位数和众数呢?例题6中的第二问学生一般不易想到,教师要将“较高目标”衡量标准引向三个数据代表身上,这样学生就不难回答了。第三问要抓住一半左右应与哪个数据代表的意义相符这个问题。即要很好的回答第三问,学生头脑必须很清楚平均数、中位数、众数的特点。六、随堂练习:1、在一次环保知识竞赛中,某班50名学生成绩如下表所示:得分5060708090100110120人数2361415541分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.2、公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏,两群游客的年龄如下:(单位:岁)甲群:13、13、14、15、15、15、16、17、17。乙群:3、4、4、5、5、6、6、54、57。(1)、甲群游客的平均年龄是岁,中位数是岁,众数是 岁,其中能较好反映甲群游客年龄特征的是  。(2)、乙群游客的平均年龄是岁,中位数是   岁,众数是  岁。其中能较好反映乙群游客年龄特征的是   。答案:1.  众数90  中位数 85平均数 84.62.(1)15、15、15、众数(2).15、5.5、6、中位数  20.2  数据的波动20.2.1  极差一、教学目的:1、理解极差的定义,知道极差是用来反映数据波动范围的一个量2、会求一组数据的极差二、重点、难点和难点的突破方法1、重点:会求一组数据的极差2、难点:本节课内容较容易接受,不存在难点。三、例习题的意图分析教材P151引例的意图(1)、主要目的是用来引入极差概念的(2)、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量(3)、交待了求一组数据极差的方法。四、课堂引入:引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形象直观一些的反映极差的意义,可以画出温度折线图,这样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而喻了。五、例习题分析本节课在教材中没有相应的例题,教材P152习题分析问题1 可由极差计算公式直接得出,由于差值较大,结合本题背景可以说明该村贫富差距较大。问题2 涉及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识。问题3答案并不唯一,合理即可。六、随堂练习:1、一组数据:473、865、368、774、539、474的极差是,一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是  .2、一组数据3、-1、0、2、X的极差是5,且X为自然数,则X= .3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是()A.平均数  B.中位数  C.众数  D.极差4、一组数据X、X…X的极差是8,则另一组数据2X+1、2X+1…,2X+1的极差是( )A. 8 B.16 C.9  D.17答案:1.  497、3850  2. 4  3. D   4.B20.2.2方差(第一课时)一. 教学目的:1. 了解方差的定义和计算公式。2. 理解方差概念的产生和形成的过程。3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。二. 重点、难点和难点的突破方法:1. 重点:方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。2. 难点:理解方差公式三. 例习题的意图分析:1. 教材P125的讨论问题的意图:(1).创设问题情境,引起学生的学习兴趣和好奇心。(2).为引入方差概念和方差计算公式作铺垫。(3).介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法。(4).客观上反映了在解决某些实际问题时,求平均数或求极差等方法的局限性,使学生体会到学习方差的意义和目的。2. 教材P154例1的设计意图:(1).例1放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律之后,不言而喻其主要目的是及时复习,巩固对方差公式的掌握。(2).例1的解题步骤也为学生做了一个示范,学生以后可以模仿例1的格式解决其他类似的实际问题。四.课堂引入:除采用教材中的引例外,可以选择一些更时代气息、更有现实意义的引例。例如,通过学生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像,进而引导教练员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题上,这样引入自然而又真实,学生也更感兴趣一些。五. 例题的分析:教材P154例1在分析过程中应抓住以下几点:1.题目中“整齐”的含义是什么?说明在这个问题中要研究一组数据的什么?学生通过思考可以回答出整齐即波动小,所以要研究两组数据波动大小,这一环节是明确题意。2.在求方差之前先要求哪个统计量,为什么?学生也可以得出先求平均数,因为公式中需要平均值,这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。3.方差怎样去体现波动大小?这一问题的提出主要复习巩固方差,反映数据波动大小的规律。六. 随堂练习:1. 从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗,分别测得它的苗高如下:(单位:cm)甲:9、10、11、12、7、13、10、8、12、8;乙:8、13、12、11、10、12、7、7、9、11;问:(1)哪种农作物的苗长的比较高?(2)哪种农作物的苗长得比较整齐?2. 段巍和金志强两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如下表所示,谁的成绩比较稳定?为什么?测试次数12345段巍1314131213金志强1013161412参考答案:1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同;(2)甲整齐  2.段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。课件文档下载地址https://m.1ydt.com/v/box-11_37_44或扫码下载图文来自网络,版权归原作者,如有不妥,告知即删点击阅读原文下载全册PPT课件动画教案习题整套资料

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